Question

Resolva as equações irracionais: a) $\sqrt{x+2} = 2$ b) $\sqrt{2+ \sqrt{x-1} } = 2$ c)$\sqrt{3+x} = \sqrt{9-x}$ d) $\sqrt{2x-3} - \sqrt{x+11} = 0$

Answer 1

Vamos começar pela letra a ). Para resolvermos, vamos, inicialmente, elevar os dois lados ao quadrado, que é o conceito básico das equações irracionais, a fim de eliminar as raízes.

$( \sqrt{x+2} )^2=2^2$

Como o índice da raiz é 2, podemos simplificar o 2 com o 2,

$x+2=4 \\ \\ x=4-2 \\ \\x=2$

Encontrado as raízes da equação, é preciso que substitua o 2 no lugar do x para verificar se o 2 é realmente a solução da equação.

$\sqrt{2+2}=2 \\ \\ \sqrt{4} =2 \\ \\ 2=2~\checkmark$

Logo,

$S=\{2\}$

Vamos para a letra B )

$(\sqrt{2+ \sqrt{x-1} })^2 =2^2 \\ \\ 2+ \sqrt{x-1}=4 \\ \\ \sqrt{x-1}=2$

Temos outra equação irracional para resolver, com isso, vou elevar ao quadrado novamente.

$( \sqrt{x-1})^2=2^2 \\ \\ x-1=4 \\ \\ x=5$

Substituímos para confirmar se o x é solução,

$\sqrt{2+ \sqrt{5-1} } =2 \\ \\ \sqrt{2+2}=2 \\ \\ 2=2~\checkmark$

Logo,

$S=\{5\}$

Vamos para letra C )

$( \sqrt{3+x})^2=( \sqrt{9-x})^2 \\ \\ 3+x=9-x \\ \\ 2x=9-3 \\ \\ 2x=6 \\ \\ x=3$

Substituímos o 3 no lugar do x da equação,

$\sqrt{3+3} = \sqrt{9-3} \\ \\ \sqrt{6}= \sqrt{6}~\checkmark$

Logo,

$S=\{3\}$

Vamos para letra D )

Podemos passar para o segundo membro o raiz de x + 11 com sinal positivo.

$(\sqrt{2x-3})^2= (\sqrt{x+11} )^2 \\ \\ 2x-3=x+11 \\ \\ 2x-x=11+3 \\ \\ x=14$

Substituindo na equação,

$\sqrt{2~.~14-3} - \sqrt{14+11} =0 \\ \\ \sqrt{28-3} - \sqrt{25} =0 \\ \\ \sqrt{25} - \sqrt{25} =0 \\ \\ 0=0~\checkmark$

Logo,

$S=\{14\}$

È isso aí, dúvidas? È só perguntar.