Question

Resolva as equações fracionárias. Lembre-se de identificar a condição de existência!

a) 1/x + 1/x+2 = 1/2,4

b) x-1/x-3 + x+1/x+3 = 2x²-2x/(x+3) (x-3)

c) 2x/x-1 + 1/x+2 = 5x+1/(x-1) (x+2)

d) 3/4 + 1/x = 11/12

Answer 1

Simplificando as equações e tirando as inexistências temos que as equações são resolvidas por:

a) x= 4 e x = -1,2

b) Solução impossível.

c) x = -1

d) x = 6

Explicação passo-a-passo:

Para resolvermos estas equações fracionárias irei utilizar o mesmo método, que é basicamente multiplicar todos os termos das equações pelo produto de seus denominadores, para cortar e simplificar as equações.

E para determinar a existência basta garantirmos que nenhum denominar é igual a 0.

a)

$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}=\frac{1}{2,4}$

Vemos de cara que x não pode ser nem 0 nem -2, pois nestes casos as fração não irá existir.

Multiplicando todos os termos por 2,4.x.(x+2):

$\frac{2,4.x.(x+2)}{x}+\frac{2,4.x.(x+2)}{x+2}=\frac{2,4.x.(x+2)}{2,4}$

Cortando os termos iguais que dividem e multiplicam:

$2,4.(x+2)+2,4.x=x.(x+2)$

$2,4x+4,8+2,4x=x^2+2x$

$x^2-2,8x-4,8=0$

Resolvendo Bhaskara temos que

x1 = 4

x2 = -1,2

b)

$\frac{x-1}{x-3}+\frac{x+1}{x+3}=\frac{2x^2-2x}{(x-3)(x+3)}$

Vemos que x não pode ser nem 3 nem -3, para não dar 0 no denominador.

Multiplicando todos por (x-3)(x+3) e simplificando:

$(x-1)(x+3)+(x+1)(x-3)=2x^2-2x$

$x^2+2x-3+x^2-2x-3=2x^2-2x$

$-6=-2x$

$x=3$

Como x deu igual a um dos valores que não podia ser, então esta equação não tem solução.

c)

$\frac{2x}{x-1}+\frac{1}{x+2}=\frac{5x+1}{(x-1)(x+2)}$

Vemos que x não pode ser nem 1 nem -2.

Multiplicando os termos por (x-1)(x+2) e simplificando:

$(2x)(x+2)+(1)(x-1)=5x+1$

$2x^2+4x+x-1=5x+1$

$2x^2+5x-1=5x+1$

$2x^2=2$

$x^2=1$

Então:

x1 = 1

x2 = -1

mas como x não pode ser 1, então a unica solução é:

x = -1

d)

$\frac{3}{4}+\frac{1}{x}=\frac{11}{12}$

Vemos que x não pode ser 0.

Multiplicando todos por 4.x.12:

$3.12.x+4.12=11.4.x$

$36x+48=44x$

$8x=48$

$x=6$