Question

Resolva as equações fracionárias:
a) x-5/x-1 + x +1=0
b)2/x+2/(x+3)=1
c)x-5=1/x-3
d)y+3=72/y-3

Answer 1

Resposta:

a) S = { - 3 ; 2 }  quando x ≠ 1

b) S = { - 3 ; 2 }

c)  S  = {  1 - √2 ;  1 + √2 }

d) S = { - 12 ; 6 }

Explicação passo a passo:

a) x-5/x-1 + x +1=0

$\frac{x-5}{x-1} +x+1=0$

Para resolver esta equação há várias maneiras.

Vou optar por uma em que vai deixar de haver denominador(es)

Observação prévia  → Quando tem significado a expressão no 1º membro?

Em primeiro lugar convém que se indique o domínio da expressão que está

no primeiro membro.

Na primeira parcela , temos uma fração de denominador (x - 1 ).

Para que essa fração tenha significado ( = ser possível ) temos que ter

x - 1 ≠ 0.

Porque divisão por zero é impossível.

Domínio será então |R \ { 0 }

Resolvendo:

$\frac{x-5}{x-1} +(x+1)=0$

agrupei "x" com "+1" no 1º membro

Vou multiplicar os dois termos do primeiro membro por (x - 1), o que vai permitir o "desaparecimento" de frações.

$\frac{(x-5)*(x-1)}{x-1} +(x+1)*(x-1)=0$

No primeiro membro a fração fica sem denominador pois ( x - 1 ) cancela

com expressão idêntica no denominador.

Por outro lado

( x+ 1 ) * ( x - 1) é o desenvolvimento dum produto notável. A diferença de

dois quadrados.

Observação 2 → Diferença de dois quadrados

Quando temos  a² - b² isto torna-se ( a + b ) * ( a - b )

Mas se tivermos  ( a + b ) * ( a - b ) isto representa a² - b² .

temos de ter presente qualquer una destas duas situações para as usar

sempre que necessário.

E é o caso que temos aqui.

$x-5+x^{2} -1=0$

$x^{2} +x-6=0$

Agora

ou

usamos a Fórmula de Bhascara ( que serve para resolver todas as equações do 2º grau)

ou

o método que nos diz que uma equação do 2º grau pode ser escrita desta maneira:

$x^{2} -Sx+P=0$

Onde

S = soma das raízes              e       $S =-\frac{b}{a}$

P = produto das raízes          e       $P=\frac{c}{a}$

$x^{2} +x-6=0$

S = - 1/1 = - 1

P = - 6 /1 = - 6

Agora por tentativas rápidas:

tentar co  - 6  e  1

- 6 * 1 = -6

- 6 + 1 =- 5  não serve

- 3 * 2 = - 6

- 3 + 2 = - 1    serve

S = { - 3 ; 2 } quando x ≠ 1

b)2/x+2/(x+3)=1

$\frac{2}{x} +\frac{2}{x+3} =1$

$\frac{2}{x} +\frac{2}{x+3} =\frac{1}{1}$

Nos denominadores das três frações tenho as seguintes parcelas:

x    ;    x + 3    ;    1

Para que as frações deixem de existir vou fazer seletivas multiplicações

$\frac{2*(x+3)}{x*(x+3)} +\frac{2*(x+1)}{(x+3)*x} =\frac{1*(x+3)*x}{1*(x+3)*x}$

Agora que todas têm o mesmo denominador " podemos retirá-lo"

Bom na realidade, matematicamente "não se retira".

Vou ensinar como se faz.

Passar tudo para 11º membro:

E como " 1 " é o elemento neutro da multiplicação, sai do numerador da 3ª

fração:

$\frac{2*(x+3)}{x*(x+3)} +\frac{2*x}{(x+3)*x} -\frac{(x+3)*x}{(x+3)*x}=0$

Todas as frações têm o mesmo denominador, logo podem ser somadas.

Mantendo o denominador e adicionado os numeradores.

$\frac{2*(x+3)+2*x-(x+3)*x}{x*(x+3)} =0$

Para que esta fração seja igual a zero, é necessário que o numerador dê

zero , e que o denominador seja diferente de zero.

${2*(x+3)+2*x-(x+3)*x} =0$

Usando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição algébrica.

2x + 6 + 2x - ( x² + 3x) = 0

2x + 6 + 2x - x² - 3x = 0

- x² + x + 6 = 0

Vou resolver pelo método da Soma e Produto de raízes

x² - S x + P = 0

S = - b/a         P = c/a

S = 1 /( -1 ) = - 1

P = - 6

Tentativas

Se    x1 = 1   e    x2 = - 6

x1 * x2 = 1 * ( - 6)  = - 6    aqui certo

x1 + x2 = 1 - 6 = - 5 ≠ - 1     falha

Se x1 = 2    e x2 = - 3

S = 2 + ( - 3 ) = -1        verificado e serve

P = 2 * ( - 3 ) = - 6       verificado e serve

S = { - 3 ; 2 }

c)  x - 5 = 1 /x-3

Nota: como não colocou parêntesis em ( x - 3), só estará 1/x e não 1/(x-3)

$x - 5 = \frac{1}{x}-3$

$\frac{x-5}{1} = \frac{1}{x}-\frac{3}{1}$

$\frac{(x-5)*x}{1*x} = \frac{1}{x}-\frac{3*x}{1*x}$

( x - 5 ) * x = 1 - 3x

x² - 5x - 1 + 3x = 0

x² - 2x - 1  = 0

Fórmula de Bhascara

x = ( - b ± √Δ ) /2a    onde  Δ = b² - 4 * a *c    para a ≠ 0   a ; b ; c ∈ |R

x² - 2x - 1  = 0

a =   1

b = - 2

c = - 1  

Δ = ( - 2)² - 4 * 1 * ( - 1 ) = 4 + 4 = 8

√Δ = √8 = √2³ = √2² * √2 = 2 √2

x1 = ( - ( - 2 ) + 2√2 ) / ( 2 * 1)

x1 = ( 2 + 2√2 ) / ( 2 * 1)

Colocar 2 em evidência, no numerador

x1 = 2 *( 1 + √2 ) / 2

O 2 no numerador cancela-se com o 2 no denominador

x1 = 1 + √2

x2 = ( - ( - 2 ) - 2√2 ) / ( 2 * 1)

x2 = ( 2 - 2 √2 ) / 2

x2 = 2( 1 - √2 ) /2

x2 = 1 - √2

S  = {  1 - √2 ;  1 + √2 }

d) y + 3 = 72/y - 3

$y+3 =\frac{72}{y}-3$

$\frac{y+3}{1} =\frac{72}{y}-\frac{3}{1}$

$\frac{(y+3)*y}{1*y} =\frac{72}{y}-\frac{3*y}{1*y}$

$(y+3)*y=72-3*y$

$y^{2} +3y+3y - 72=0$

$y^{2} +6y - 72=0$

y² - Sx + P = 0

S = - b/a = - 6/1 = - 6

P = c/a = - 72

Tentativas

y = 6  e y = - 12

Soma → + 6 - 12 = - 6        verifica  e serve

Produto → 6 * ( - 12 ) = - 72     verifica e serve

S = { - 12 ; 6 }

Bons estudos.

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Sinais: ( * ) multiplicação                  ( / ) divisão                (∈ ) pertence a  

( ≠ ) diferente de

( |R ) conjunto números reais  

( x1 e x2 ) nomes dados às soluções da equação