Question

resolva as equações exponenciais a seguir:

8^x+1 = 1

3^2x + 3 . 3^x-1 = 12

7^x+1 - 49 . 7^x-2 = 42

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Yian, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se as seguintes equações exponenciais:

i.a)

8ˣ⁺¹ = 1 ---- veja que "1" poderá ser substituído por 8⁰, pois todo número diferente de zero, quando está elevado a zero é igual a "1". Assim, ficaremos com:

8ˣ⁺¹ = 8⁰ ---- como as bases são iguais, então igualamos os expoentes. Logo:
x + 1 = 0
x = - 1 <--- Esta é a resposta para a primeira questão.

i.b) 3²ˣ + 3*3ˣ⁻¹ = 12

Veja que:
3ˣ⁻¹ = 3ˣ / 3¹ = 3ˣ / 3 . Assim, substituindo, teremos:

3²ˣ + 3*3ˣ  / 3 = 12 ----- simplificando-se o "3" do numerador com o "3" do denominador, ficaremos apenas com:

3²ˣ + 3ˣ = 12 ---- vamos passar "12" para o 1º membro, ficando assim:
3²ˣ + 3ˣ - 12 = 0 ---- vamos fazer 3ˣ = y. Com isso ficaremos assim (veja que se 3ˣ = y, então 3²ˣ = y²):

y² + y - 12 = 0 ----- se você aplicar Bháskara nesta função quadrática, vai encontrar que as raízes são as seguintes:

y' = -4
y'' = 3

Mas lembre-se que fizemos 3ˣ = y. Então teremos:

i.b.1) Para y = - 4, teremos:

3ˣ = - 4 <---- Impossível. Não existe nenhuma base positiva que, elevada a qualquer que seja o expoente, dê resultado negativo. Logo, descartaremos a raiz igual a y = - 4.

i.b.2) Para y = 3, teremos:

3ˣ = 3 ---- note que o "3" que está no 2º membro tem expoente "1" (apenas não se coloca). Mas é como se fosse:

3ˣ = 3¹ ---- como as bases são iguais, então igualamos os expoentes. Logo:
x = 1 <---- Esta é a resposta para a 2ª questão.

i.c) 7ˣ⁺¹ - 49*7ˣ⁻² = 42

Agora note que:

7ˣ⁺¹ = 7ˣ * 7¹ = 7ˣ * 7 = 7*7ˣ
e
7ˣ⁻² = 7ˣ/7² = 7ˣ/49

Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

7*7ˣ - 49*7ˣ/49 = 42 ---- dividindo-se "49" do numerador com "49" do denominador, iremos ficar apenas com:

7*7ˣ - 7ˣ = 42 ---- no 1º membro, vamos colocar 7ˣ em evidência. Com isso, ficaremos assim:

7ˣ*(7 - 1) = 42 ----- como "7-1 = 6", teremos:
7ˣ*(6) = 42 ---- isolando 7ˣ, teremos;
7ˣ = 42/6 ---- note que "42/6 = 7". Assim:
7ˣ = 7 --- note que o "7" do 2º membro tem expoente "1". É como se fosse:
7ˣ = 7¹ ----- como as bases são iguais, então igualamos os expoentes. Logo:
x = 1 <--- Esta é a resposta para a 3ª questão.

Observação: em todo o nosso desenvolvimento utilizamos o símbolo * com o significado de multiplicação.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.