Question

Resolva as equações do segundo grau sendo U:IR
3) O) (x-1)elevado a dois + (x+2)elevado a 2 = 3 (x elevado a dois + 2)
Q) (x-1) elevado a dois sobre 6 + x sobre 3 = 0
R) x sobre 5 = 3-x elevado a quatro sobre 10
S) (2x-3)elevado a dois sobre 10 + x+1 sobre 5 = 11+2x elevado a dois sobre 10
T)(x+1) elevado a dois sobre 3 + (x-1) elevado a dois sobre 2 = 1
U)x sobre 2 + 1 sobre 4 = x (x-2) sobre 4
V)2x - 1 - x-5 sobre 2 = (x+2) elevado a dois sobre 4
Me ajudem por favor isso e pra amanhã e o meu professor de matemática não me explicou direito por favor me ajudem eu sou do 9 ano ensino fundamental qualquer duvida me perguntem

Answer 1

Olá!
 
    Equações do segundo grau são todas aquelas cuja maior potência do x é 2, e podem ser colocadas na forma  $ax^2+bx+c=0.$   
 
 $\Delta=b^2-4ac.$


    Daí, a fórmula de Bhaskara é a seguinte:


$x=\dfrac{-b\;\pm\;\sqrt{\Delta}}{2a}.$


    Com isso tudo em mente, coloquemos as equações na forma geral e vamos lá:


3-o)

$(x-1)^2+(x+2)^2=3(x^2+2)\Rightarrow \\ \\ \Rightarrow x^2-2x+1+x^2+4x+4= 3x^2+6\Rightarrow 2x^2+2x+5=3x^2+6\Rightarrow\\ \\ \Rightarrow 3x^2-2x^2-2x+6-5=0\Rightarrow x^2-2x+1=0.\\ \\ \text{Temos:}\\ a=1,\;b=-2\;\;\text{e}\;\;c=1\Rightarrow \Delta = b^2-4ac = \\ \\ = (-2)^2-4\cdot 1\cdot 1 = 4-4 = 0.\\ \\ \text{Portanto,}\\ \\ x=\dfrac{-b\pm\;\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-(-2)\pm\;\sqrt{0}}{2\cdot 1} = \dfrac{2}{2}=1.$

3-q)

$\dfrac{(x-1)^2}{6}+\dfrac{x}{3}=0\Rightarrow \dfrac{x^2-2x+1}{6}+\dfrac{2x}{6}=0\Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow \dfrac{x^2-2x+1+2x}{6}=0\Rightarrow \dfrac{x^2+1}{6}=0\Rightarrow x^2+1=0.\\ \\ \\ \text{Note que n\~ao temos o termo b nesta equa\c c\~ao, e }\\ \Delta=0^2-4\cdot 1\cdot 1 = -4\;\;\text{\'e negativo.}$

    Quando isto ocorre, a equação não tem solução nos reais.

3-r)

$\dfrac{x}{5}=\dfrac{3-x^4}{10}\Rightarrow \dfrac{2x}{10}=\dfrac{3-x^4}{10}\Rightarrow x^4+2x-3=0\\ \\ \\ \text{Note que x=1 \'e raiz desta equa\c c\~ao. Ent\~ao,}\\ \text{dividindo a equa\c c\~ao por (x-1) , temos:}\\ x^4+2x-3=0\Leftrightarrow (x-1)(x^3+x^2+x+3)=0$

    O produto de dois valores é zero quando um deles é zero.

$(x-1)(x^3+x^2+x+3)=0\Leftrightarrow (x-1)=0\;\;\text{ou}\;\;(x^3+x^2+x+3)=0\\ \\ \text{Ou seja,}\\ \\ x = 1\;\;\text{ou}\;\; (x^3+x^2+x+3)=0.$


    Então, x = 1 é uma das raízes. E:

$x^3+x^2+x+3=0\\ \text{Note que, para x=-2 ,}\\ \\ x^3+x^2+x+3=(-2)^3+(-2)^2+ (-2) + 3 = -8+4-2+3=\\ \\ = -3\ \textless \ 0,\\ \text{e, para x = -1 ,}\\ \\ x^3+x^2+x+3=(-1)^3+(-1)^2+(-1)+3 = -1+1-1+3=2\ \textgreater \ 0.$
   
    Isso significa que, no intervalo  $[-2,-1],$  o gráfico atravessa o eixo x, e função polinomial é contínua (peça ao seu professor pra lhe explicar sobre continuidade). E,

$f(x) = x^3+x^2+x+3\Rightarrow f'(x) = 3x^2+2x+1 \\ \\ \text{Da\'{\i}, } f'(x) = 0\Leftrightarrow 3x^2+2x+1=0\Rightarrow \Delta\ \textless \ 0\;\;\text{e}\;\;a=3\ \textgreater \ 0,\\ \\ \text{ent\~ao } f'(x)\ \textgreater \ 0,\;\forall x\in\mathbb{R}$
   
   Essa função é crescente. Ou seja, só corta o eixo x uma vez. Daí não há mais raízes reais.


   Portanto, as raízes reais para esta equação são duas:  $x=1$  e uma outra raiz  $x_0$   tal que  $x_0\in [-2,-1].$


3-s)

$\dfrac{(2x-3)^2}{10}+\dfrac{x+1}{5}=\dfrac{11+2x^2}{10}\Rightarrow\\ \\ \\ \Rightarrow \dfrac{4x^2-12x+9+2x+2}{10}=\dfrac{11+2x^2}{10}\Rightarrow\\ \\ \\ \Rightarrow 4x^2-2x^2-9x=0\Rightarrow 2x^2-9x=0.\\ \\ \text{Temos}\\ a=2,\;b=-9\;\;\text{e}\;\;c=0\Rightarrow \Delta = (-9)^2-4\cdot 2\cdot 0 = 81.\\ \\ \text{Da\'{\i}},\\ \\ x=\dfrac{-(-9)\pm\;\sqrt{81}}{2\cdot 2}\Rightarrow x=\dfrac{9\pm\;9}{4}\Rightarrow x=\dfrac{18}{4}\;\;\text{ou}\;\;x=\dfrac{0}{4}\Rightarrow$

$\Rightarrow x = \dfrac{9}{2}\;\;\text{ou}\;\;x=0.$


3-t)

$\dfrac{(x+1)^2}{3}+\dfrac{(x-1)^2}{2}=1\Rightarrow \dfrac{x^2+2x+1}{3}+\dfrac{x^2-2x+1}{2}=1\Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow \dfrac{2x^2+4x+2+3x^2-6x+3}{6}=\dfrac{6}{6}\Rightarrow \dfrac{5x^2-2x-1}{6}=0\Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow 5x^2-2x-1=0.\\ \\ \text{Assim, temos}\\ a=5,\;b=-2\;\;\text{e}\;\;c=-1\Rightarrow \Delta=(-2)^2-4\cdot 5\cdot (-1) = 24\Rightarrow \\ \\ \Rightarrow x=\dfrac{-(-2)\pm\;\sqrt{24}}{2\cdot 5} = \dfrac{2\pm \sqrt{2^2\cdot 6}}{10}=\dfrac{2\pm\; 2\sqrt{6}}{10}=$

$=\dfrac{1\pm\;\sqrt{6}}{5}\Rightarrow x=\dfrac{1+\sqrt{6}}{5}\;\;\text{ou}\;\;x=\dfrac{1-\sqrt{6}}{5}.$


3-u)

$\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{x(x-2)}{4}\Rightarrow \dfrac{2x+1}{4}=\dfrac{x^2-2x}{4}\Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow 2x+1=x^2-2x\Rightarrow x^2-4x-1=0. \\ \\ \text{Assim,}\\ a=1,\;b=-4\;\;\text{e}\;\;c=-1\Rightarrow \Delta = (-4)^2-4\cdot 1\cdot (-1) = 20\Rightarrow \\ \\ \Rightarrow x=\dfrac{-(-4)\pm\;\sqrt{20}}{2} = \dfrac{4\pm\;\sqrt{2^2\cdot 5}}{2}=\dfrac{4\pm\;2\sqrt{5}}{2}\Rightarrow \\ \\ \Rightarrow x=2+\sqrt{5}\;\;\text{ou}\;\;x=2-\sqrt{5}.$


3-v)

$2x-1 - \dfrac{x-5}{2}=\dfrac{(x+2)^2}{4}\Rightarrow \dfrac{8x-4}{4}-\dfrac{2x-10}{4}=\dfrac{x^2+4x+4}{4}\Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow \dfrac{6x+6}{4}=\dfrac{x^2+4x+4}{4}\Rightarrow x^2-2x-2=0.\\ \\ \text{Ent\~ao,}\\ a=1,\;b=-2\;\;\text{e}\;\;c=-2\Rightarrow \Delta=(-2)^2-4\cdot 1\cdot (-2)=12\Rightarrow \\ \Rightarrow x=\dfrac{2\pm\;\sqrt{12}}{2}=\dfrac{2\pm\;\sqrt{2^2\cdot 3}}{2}= \dfrac{2\pm\;2\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \\ \\ \Rightarrow x = 1+\sqrt{3}\;\;\text{ou}\;\; x = 1-\sqrt{3}.$



Bons estudos!