Question

resolva as equações do segundo grau a seguir ( são duas)
no caso a raiz cobre o x+2​

Answer 1

a) x⁴ - 5x² + 4 = 0

Essa equação é de quarto grau, ou seja, possui 4 raízes. Para tornar nossos cálculos mais fáceis, vamos substituir x² por y, e aí, a partir desta substituição, podemos encontrar uma equação de 2º grau, e todos as raízes. Veja:

x² = y

y² - 5y + 4 = 0

a = 1

b = - 5

c = 4

Δ = b² - 4ac

Δ = (-5)² - 4(1)(4)

Δ = 25 - 16

Δ = 9

y = - b ± √Δ / 2a

y = 5 ± 3 / 2

y' = 5 + 3 / 2

y' = 8/2

y' = 4

y'' = 5 - 3 / 2

y'' = 2/2

y'' = 1

Os valores que y pode assumir na equação de segundo grau são: 1 e 4.

Lembra que x² = y? Então, temos:

x² = y'

x² = 1

x = ± 1

x² = y''

x² = 4

x = ± √4

x = ± 2

As raízes desta equação são: - 2, - 1, 1 e 2.

b) √x + 2 = 3x - 4

Agora, para resolver esta equação, elevamos os dois lados ao quadrado, pois, aí podemos cancelar a raiz.

(√x + 2)² = (3x - 4)²

x + 2 = ( 3x - 4 )²

Obs.: (3x - 4)²  é um produto notável.

x + 2 = (3x)² - 2(3x)(4) + (4)²

x + 2 = 9x² - 24x + 16

9x² - 24x - x + 16 - 2 = 0

9x² - 25x + 14 = 0

a = 9

b = - 25

c = 14

Δ = b² - 4ac

Δ = (-25)² - 4(9)(14)

Δ = 625 - 504

Δ = 121

x = - b ± √Δ / 2a

x = 25 ± 11 / 2(9)

x = 25 ± 11 / 18

x' = 25 + 11 / 18

x' = 36/18

x' = 2

x'' = 25 - 11 / 18

x'' = 14/18

x'' =  7/9

Encontrando os valores que x pode assumir, vamos testar qual deles é solução da equação:

√2 + 2 = 3(2) - 4

√4 = 6 - 4

2 = 2  Ok!

√7/9 + 2  = 3(7/9) - 4

√25/9 = 7/3 - 4

5/3  ≠  - 5/3

Concluímos, então, que x = 2 é a nossa resposta.