Resolva as equações c) (n+1)!+n!=1/8 (n+2)!
Soluções para a tarefa
Resposta:
n = 7
Explicação passo-a-passo:
Pedido :
Resolva a equação (n+1)!+n!=1/8 (n+2)!
Resolução:
Para entender melhor como operar com fatorais é desejável que saiba o que são esses números.
Fatorial é o produto de um dado número natural com todos os números naturais que o antecedem, até chegar a 1.
Exemplos:
n! = n * ( n - 1 ) * ( n - 2 ) * ( n - 3 ) * ( n - 4 ) ... * 1
( n+ 1 ) ! = ( n + 1) * n!
( n + 2 ) ! = ( n + 2 ) * ( n + 1 ) * n!
5 ! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120
Um fatorial nunca é zero ou negativo, pois só lida com números naturais.
( n + 1) ! + n! = 1/8 *( n + 2 )!
Posso portanto dividir ambos os membros da fração por ( n + 2 )!
Ao mesmo tempo vou desenvolver (n+1)!
⇔ [ (n+1)* n! + n! ] / (n+2)! = 1/8
posso por em evidência n!
também desenvolver (n+2)! agora no denominador
⇔ [ n! (n+1 + 1) ] / [ (n+2)*(n+1)* n! ] = 1/8
⇔ [ n! (n+2) ] / [(n+2)*(n+1)* n!] = 1/8
o n! e o (n+2) do numerador cancela o n! e o (n+2) do denominador
⇔ 1 / (n+1) = 1/8
Aqui posso usar duas táticas diferentes:
a) multiplicar cruzado
ou
d) repare-se que temos uma igualdade de duas frações em que o numerador de ambas é 1.
Sendo assim para que sejam iguais têm que ter o mesmo denominador.
Logo
⇔ n + 1 = 8
⇔ n = 7
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Verificar
⇔ [ (n+1)* n! + n! ] / (n+2)! = 1/8
⇔ [ (7 +1 )* 7 ! + 7 ! ] / (7+2)! = 1/8
colocando em evidência o 7! no numerador
⇔ [ 7 ! * ( 8 + 1] / 9! = 1/8
⇔ ( 7 ! * 9) / 9! = 1/8
desenvolvendo o 9! do denominador
⇔ ( 7 ! * 9) / (9 * 8 * 7! ) = 1/8
o 7! e o 9 do numerador e do denominador cancelam-se mutuamente
⇔ 1/8 = 1/8 está verificado
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Sinais: (*) multiplicar ( / ) dividir (⇔) equivalente a ( ! ) fatorial
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Qualquer dúvida me contacte pelos comentários.
Procuro resolver com detalhe elevado para que quem vai aprender a
resolução a possa compreender otimamente bem.