Question

resolva as equaçoes biquadradas
$x^{2} (x ^{2} - 9 = - 20$

Answer 1

x² ( x² - 9 ) = -20

x⁴- 9x² + 20 = 0

passando para equação do segundo grau onde vamos achar 2 raizes para y

as 4 raizes da biquadrada serão as raizes quadradas das raizes do segundo grau achadas

x⁴ = y²

x² = y

y² - 9x + 20 = 0

delta = ( -9)² - [ 4 * 1 * 20] = 81 - 80 = 1 ou +-V1 = +-1 ****

y = ( 9 +-1)/2

y1 = 10/2 = 5 ***

y2= 8/2 = 4 ***

x² = y1 = y2 = +-V5 ****

x² = y3 = y4 = +-V4 = +-2 *****

resposta +-V5 e +-V2 ***

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Anajulia, que a resolução parece simples.

i) Pede-se para resolver a seguinte equação biquadrada:

x²*(x²-9) = - 20 ----- veja: vamos fazer x² = y. Fazendo isso, teremos:

y*(y-9) = -20 --- efetuando o produto indicado no 1º membro, teremos:

y²-9y = -20 ---- passando "-20" para o 1º membro, teremos:

y² - 9y + 20 = 0 ---- Agora aplicaremos a fórmula de Bháskara, que é esta:

y = [-b ± √(Δ)]/2a ---- sendo Δ = b²-4ac. Assim, substituindo, teremos:

y = [-b ± √(b²-4ac)]/2a

Note que os coeficientes da sua equação [y²-9y+20 = 0] são estes:

a = 1 --- (é o coeficiente de y²)

b = -9 -- (é o coeficiente de y)

c = 20 -- (é o coeficiente do termo independente).

Assim, fazendo as devidas substituições na fórmula de Bháskara acima, teremos:

y = [-(-9) ± √(-9)² - 4*1*20)]/2*1

y = [9 ± √(81 - 80)]/2

y = [9 ± √(1)]/2 ---- como √(1) = 1, teremos:

y = [9 ± 1]/2 ----- daqui você já conclui que:

y' = (9-1)/2 = 8/2 = 4

y'' = (9+1)/2 = 10/2 = 5

ii) Mas lembre-se que fizemos x² = y. Então teremos:

ii.1) Para y = 4, teremos:

x² = 4 --- isolando "x", teremos:

x = ± √(4) ------ como √(4) = 2, teremos:

x = ± 2 ---- daqui você já conclui que:

x' = -2

x'' = 2

ii.2) Para y = 5, teremos:

x² = 5 ---- isolando "x", teremos:

x = ± √(5) ---- como √(5) não é exata, então daqui você já conclui que:

x''' = - √(5)

x'''' = √(5).

iii) Assim, a equação biquadrada da sua questão tem 4 raízes que serão estas (colocando-as em ordem crescente):

x' = -√(5); x'' = -2; x''' = 2; x'''' = √(5) <--- Esta é a resposta.

Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma (colocando as raízes em ordem crescente), o que dá no mesmo:

S = {-√(5); -2; 2; √(5)}.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.