Question

Resolva as equações biquadradas, sendo U = Ra) x⁴-7x²+12=0b) (x²+1)² - (x²-1)² = 6x² - 2x⁴c) (x²+3)² - 4x(x+1) = 24 - 4x

Answer 1

⁴Vamos lá.

Pede-se para resolver as seguintes equações biquadradas:

a) x⁴ - 7x² + 12 = 0 ----- note que x⁴ pode ser escrito como (x²)² . Assim, ficaremos com:

(x²)² - 7x² + 12 = 0 ----- vamos fazer x² = k. Com isso, ficaremos assim:
(k)² - 7k + 12 = 0 ---- ou, retirando-se os parênteses do 1º termo:
k² - 7k + 12 = 0 ------ aplicando Bháskara, encontraremos as seguintes raízes:

k' = 3
k'' = 4.

Mas veja que fizemos x² = k . Então:

i) Para k = 3, teremos:

x² = 3
x = +-√(3)

ii) Para k = 4, teremos:

x² = 4
x = +-√(4) ----- como √(4) = 2, teremos:
x = +-2 .

Dessa forma, resumindo, temos que os valores de "x" que satisfazem à equação do item "a" serão as seguintes raízes (colocando as raízes em ordem crescente):

x' = -2; x'' = -√3; x''' = √3; x'''' = 2 <---- Esta é a resposta para a questão do item "a".
O conjunto-solução  {x'; x''; x'''; x''''}  também poderá ser apresentado da seguinte forma, se você quiser:

S = {-2; -√3; √3; 2}

b) (x²+1)² - (x²-1)² = 6x² - 2x⁴ ----- desenvolvendo os quadrados indicados, teremos:

(x⁴+2x²+1) - (x⁴-2x²+1) = 6x⁴ - 2x² ---- retirando-se os parênteses, teremos:
x⁴+2x²+1 - x⁴+2x²-1 = 6x⁴ - 2x² ---- reduzindo os termos semelhantes no 1º membro, teremos:

4x² = 6x⁴ - 2x² ----- vamos passar todo o 1º membro para o 2º, ficando assim:

0 = 6x⁴ - 2x² - 4x² ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
0 = 6x⁴ - 6x² ---- vamos apenas inverter, ficando assim:
6x⁴- 6x² = 0 ---- note que se você dividir ambos os membros por "6", vai ficar da seguinte forma:

x⁴ - x² = 0 ----- agora vamos colocar x² em evidência, ficando assim:
x²*(x²-1) = 0 ---- note que aqui temos o produto entre dois fatores cujo resultado é nulo. Quando isso ocorre, um dos fatores poderá ser nulo. Então teremos as seguintes possibilidades:

ou
x² = 0 ---> x = +-√(0) ---> x' = 0
ou
x² - 1 = 0 ---> x² = 1 ---> x = +-√(1) ---> x'' = -1; x'' = 1

Assim, resumindo,teremos que as raízes da equação do item "b" serão estas (colocando-as na ordem crescente):

x' = -1; x'' = 0; x''' = 1 <--- Esta é a resposta da questão "b"

O conjunto-solução {x'; x''; x'''} póderá ser apresentado da seguinte forma, se você quiser:

S = {-1; 0; 1} .

c) (x²+3)² - 4x*(x+1) = 24 - 4x ----- no 1º membro, vamos desenvolver o quadrado e efetuar o produto indicado, ficando assim:

(x⁴+6x²+9) - (4x²+4x) = 24 - 4x ---- retirando-se os parênteses, ficaremos:
x⁴+6x²+9 - 4x²-4x = 24 - 4x ---- passando todo o 2º membro para o 1º, ficaremos assim:

x⁴+6x²+9 - 4x²-4x - 24 + 4x = 0 ----- reduzindo os termos semelhantes, iremos ficar da seguinte forma:

x⁴ + 2x² - 15 = 0 ----- Note que x⁴ = (x²)². Logo, ficaremos assim:
(x²)² + 2x² - 15 = 0 -------- a exemplo da questão do item "a", vamos fazer x² = k. Com isso, ficaremos assim:

(k)² + 2k - 15 = 0 ----- ou, retirando-se os parênteses do 1º membro
k² + 2k - 15 = 0 ---- aplicando Bháskara, teremos:

k' = -5
k'' = 3

Mas veja que fizemos x² = k. Então:

i) Para k = -5, teremos:

x² = - 5  <---- impossível. Nenhuma base elevada a um expoente par dará resultado negativo. Logo, descartaremos esta raiz.

ii) Para k = 3, teremos:

x² = 3
x = +-√3 ---- ou:

x' = -√3;  x'' = √3 <--- Esta é a resposta para a questão do item "c".

O conjunto-solução {x'; x''} poderá ser apresentado da seguinte forma, se você quiser:

S = {-√3; √3} .

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.