Question

Resolva as equações biquadradas em R.
$a) \: \: 9 {x}^{4} - 13 {x }^{2} + 4 = 0$
$b) \: \: {x}^{4} + 6 {x}^{2} + 8 = 0$
$c) - {x}^{4} - {x}^{2} + 6 = 0$
as letras d), e), f) eu coloquei na foto.



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Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

EQUAÇÃO BIQUADRADA ( 4 raizes)

a)

9x⁴ - 13x² + 4 = 0  fazer SUBSTITUIÇÃO

x⁴ = y²

x² = y

assim

9x⁴ - 13x² + 4 = 0   ficaaaa

9y² - 13y + 4 = 0      equação do 2º grau  

a = 9

b = - 13

c = 4

Δ = b² - 4ac

Δ = (-13)² - 4(9)(4)

Δ= 169 -  144

Δ = 25 ----------------------> √Δ = 5   (porque √25 = 5)

se

Δ > 0 ( DUAS raizes diferentes)

(baskara)

          - b ± √Δ

y = -------------------

                2a

          -(-13) - √25             + 13 - 5        + 8         8 : 2          4

y' = ------------------------- = -------------- = ---------- = --------- = ----------

                  2(9)                      18            18          18 : 2         9

          -(-13) + √25         + 13 + 5           18

y'' = ------------------- = -------------------- = -------- = 1

                 2(9)                    18               18

assim

y' = 4/9

y'' = 1

voltando na SUBSTITUIÇÃO

x² = y

y' = 4/9

x² = 4/9

x = ± √4/9  ====>(  √4 = 2) e (√9 = 3)

x = ± 2/3  ( DUAS raizes)

e

y'' = 1

x² = y

x² = 1

x = ± √1             ===>(√1 = 1)

x = ±1  ( DUAS raizes)

assim as 4 RAIZES são

x' = - 2/3

x'' = + 2/3

x''' = - 1

x'''' = + 1

( INSTRUÇÃO tudo igual)

B)

x⁴ + 6x² + 8 = 0

y² + 6y + 8 = 0

a = 1

b = 6

c = 8

Δ = b² - 4ac

Δ = (6)² - 4(1)(8)

Δ = + 36 - 32

Δ = + 4 ---------------------------> √Δ = 2  ( porque √4 = 2)

se

Δ > 0 ( DUAS raizes diferentes)

(baskara)

          - b ± √Δ

y = -------------------

                2a

              - 6 - √4         - 6 - 2           - 8

y' = -------------------- = --------------- = -------- = - 4

                2(1)                  2                   2

e

              - 6 + √4       - 6 + 2             - 4

y'' = --------------------- = -------------- = --------- = - 2

                     2(1)               2              2

assim

y' = - 4

y'' = - 2

voltando na SUBSTITUIÇÃO

x² = y

y' = - 4

x² = - 4

x = ± √-4   ( NÃO existe RAIZ real)  (porque:????(√-4) raiz quadrada com

                                                           número NEGATIVO

e

y'' = - 2

x² = y

x² = - 2

x = ± √-2  (NÃO existe raiz real)

assim as 4 RAIZES

x',x'',x''',x'''' = ∅  ( vazio)

c)

- x⁴ - x² + 6 = 0

- y² - y + 6 = 0

a = - 1

b = - 1

c = 6

Δ = b² - 4ac

Δ = (-1)² - 4(-1)(6)

Δ = + 1 + 24

Δ = + 25 --------------------------> √Δ = 5  ( porque √25 = 5)

se

Δ > 0 ( DUAS raizes diferentes)

(baskara)

          - b ± √Δ

y = -------------------

                2a

          -(-1) - √25        + 1 - 5           - 4               4

y' = -------------------- = ------------ = --------- =  + --------- = + 2

              2(-1)                - 2             - 2               2

           -(-1) + √25         + 1 + 5          + 6             6

y'' = ------------------- = --------------- = ----------- = - ------- = - 3

               2(-1)                  - 2              - 2

assim

y'   = 2

y'' = - 3

voltando na SUBSTITUIÇÃO

x² = y

y' =  2

x² = 2

x = ± √2     (√2 não é EXATA)    2 raizes

e

y'' = - 3

x² = y

x² = - 3

x = ± √-3  ( NÃO existe raiz real)  2 raqizes

assim as 4 RAIZES

x' = - √2  

x'' = + √2

x''' e x'''' = ∅  ( vazio)

d)

 x⁴      x² - 1

----- - ------------- = 7  SOMA com fração faz mmc 2x3 = 6

 2         3

3(x⁴) - 2(x² - 1) = 6(7)   fração com igualdade(=) despreza o denominador

----------------------------

               6

3(x⁴) - 2(x² - 1) = 6(7)

3x⁴ - 2x² + 2 = 42    zero da FUNÇÃO  ( olha o sinal)

3x⁴ - 2x² + 2 - 42 = 0

3x⁴ - 2x² - 40 = 0     substitução

3y² - 2y - 40=0

a = 3

b = -2

c = - 40

Δ = b² - 4ac

Δ = (-2)² - 4(3)(-40)

Δ = + 4 + 480

Δ = + 484 ----------------------> √484 = 22  ( porque √484 = 22)

se

Δ > 0 ( DUAS raizes diferentes)

(baskara)

          - b ± √Δ

y = -------------------

                2a

         -(-2) - √484      + 2 - 22             - 20         20: 2             10

y' = -------------------- = ---------------- = ------------ = - ---------=  - -----------

               2(3)                  6                     6             6 : 2              3

           -(-2) + √484      + 2 + 22          + 24

y'' = ---------------------- = ----------------- = --------- = + 4

                 2(3)                   6                   6

voltando na substituição

x² = y

y' = - 10/3

x² = -10/3

x = ± √-10/3   ( NÃO existe RAIZ REAL)  2raizes

y'' = 4

x² = y

x² = 4

x = ± √4  ===>(√4 = 2)

x = ± 2   2 raizes

assim as 4 RAIZES

x' e x'' = ∅ ( vazio)

x''' = - 2

x'''' = + 2

e)

             (x² - 3)²  = (x + 1)(x - 1)   vejaaaaa

     (x² - 3)(x² - 3) = (x + 1)(x - 1)

x⁴ - 3x² - 3x² + 9 = x² - 1x + 1x - 1

         x⁴ - 6x² + 9 = x² + 0 - 1

           x⁴ - 6x² + 9 = x² - 1   ( zero da função) olha o sinal

x⁴ - 6x² + 9 - x² + 1 = 0  junta iguais

x⁴ - 6x² - x² + 9 + 1 = 0

x⁴ - 7x² + 10 = 0

y² - 7y + 10 = 0

a = 1

b = - 7

c= 10

Δ = b² - 4ac

Δ = (-7)² - 4(1)(10)

Δ = + 49 - 40

Δ = + 9 -------------------> √Δ = 3  ( porque √9 = 3)

se

Δ > 0 ( DUAS raizes diferentes)

(baskara)

          - b ± √Δ

y = -------------------

                2a

            -(-7) - √9     + 7 - 3           + 4

y' = ------------------- = ------------ = ---------- = 2

                2(1)                2               2

           -(-7) + √9         + 7 + 3          10

y'' = ------------------ = ---------------- = ------- = 5

                2(1)                2                  2

voltando

x² = y

y' = 2

x² = 2

x = ± √2       ( √2  não é RAIZ EXATA)   2 Raizes

y'' = 5

x² = y

x² = 5

x =  ±√5     (√5  NÃO é EXATA)  2 raizes

as 4 RAIZES

X' = - √2

x'' = + √2

x''' = - √5

x'''' = + √5

f)

35x⁴ - 42x² + 14 = 0   (podemos DIVIDIR tudo por 7)) deixa assim

35y² - 42y + 14 = 0

a = 35

b = - 42

c = 14

Δ = b² - 4ac

Δ = (-42)² - 4(35)(14)

Δ = + 1764 - 1960

Δ = - 196    (NÃO existe RAIZ REAL)

porque

√Δ = √-196  ( raiz quadrada) com NÚMERO NEGATIVO

assim as 4 raizes

x',x'',x''',x''''' = ∅  ( vazio)