Question

resolva as equações
a) x-3=2 √¯x
b) √¯4x + 4√¯x =18
c) x- √¯x=20

Answer 1

Vamos lá.

Nat, estamos entendendo que as suas equações irracionais estariam escritas da seguinte forma:

a)

x - 3 = 2√(x) --- para eliminar o radical, vamos elevar ambos os membros ao quadrado, ficando:

(x-3)² = [2√(x)]² ---- desenvolvendo, ficaremos com:
x²-6x+9 = 4x --- passando "4x" para o 1º membro, teremos:
x²-6x+9 - 4x = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
x² - 10x + 9 = 0 ---- se você aplicar Bháskara, vai encontrar as seguintes raízes:

x' = 1
x'' = 9.

Veja: em princípio, "x" poderá assumir um dos valores acima. Porém, quando se trabalha com equações irracionais, só poderemos afirmar que "x" poderá assumir os valores encontrados após verificarmos se cada valor atende à igualdade original. Então vamos ver:

a.i) Para x = 1, na igualdade original [x-3 = 2√(x)], teremos:

1 - 3 = 2√(1) ----- veja que "1-3 = - 2"; e √(1) = 1. Assim, ficaremos: 
- 2 = 2*1
- 2 = 2 <---- Absurdo. "-2" não é igual a "2". Logo, descartaremos a raiz para x = 1.

a.ii) Para x = 9, na igualdade original [x-3 = 2√(x)], teremos:

9-3 = 2*√(9) ------ como 9-3 = 6 e √(9) = 3, teremos:
6 = 2*3
6 = 6 <---- Perfeito. Então a raiz para x = 9 é a única válida, pois foi a única que atendeu à igualdade original.

Logo, para a questão do item "a", a resposta será:

x = 9 <--- Esta é a resposta para a questão do item "a".

Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

S = { 9 } .

b)

√(4x) + 4√(x) = 18 ---  vamos elevar ambos os membros ao quadrado, ficando:

[√(4x) + 4√(x)]² = 18²  ---- desenvolvendo, ficaremos:
4x + 2*√(4x)*4√(x) + 16x = 324 ----- "arrumando" e reduzindo os termos semelhantes no 1º membro, ficaremos:

20x + 2*4*√(4x*x) = 324
20x + 8√(4x²) = 324 ----- veja que √(4x²) = 2x. Assim, ficaremos:
20x + 8*2x = 324
20x + 16x = 324
36x = 324
x = 324/36
x = 9 <--- Este é o valor de "x".

Veja que se formos na expressão original, verificaremos a igualdade original, que é esta:

√(4x) + 4√(x) = 18 --- substituindo "x" por "9", ficaremos:

√(4*9) + 4*√(9) = 18
√(36) + 4√(9) = 18 ----- note que √(36) = 6; e √(9) = 3. Assim:
6 + 4*3 = 18
6 + 12 = 18
18 = 18 <--- Perfeito. Então "9" é uma raiz válida, pois atendeu à igualdade original. Então teremos que:

9 <--- Esta é a resposta para a questão 'b".

Se quiser, poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

S = { 9 }.


c)

x - √(x) = 20 ---- vamos passar "20" para o 1º membro e "-√(x)" para o 2º, ficando assim:

x - 20 = √(x) ---- para eliminar o radical, vamos elevar ambos os membros ao quadrado, ficando:

(x-20)² = [√(x)]² ----- desenvolvendo, teremos: 
x²-40x+400 = x ---- passando "x" para o 1º membro, teremos:
x² - 40x + 400 - x = 0 --- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
x² - 41x + 400 = 0 ---- se você aplicar Bháskara, encontrará as seguintes raízes:

x' = 16
x'' = 25.

Agora vamos ver se cada raiz encontrada aí em cima atende à igualdade original.

c.i) Para x = 16, na igualdade original [x - √(x) = 20]

16 - √(16) = 20
16 - 4 = 20
12 = 20 <--- absurdo. Claro que "12" não é igual a "20". Logo, descartaremos a raiz para x = 16.

c.ii) Para x = 25 na igualdade original [x - √(x) = 20]:

25 - √(25) = 20
25 - 5 = 20
20 = 20 <--- Perfeito. Como 25 atendeu à igualdade original, então esta será a única raiz que é válida.

Logo:

x = 25 <--- Esta é a resposta para a questão do item "c".

Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

S = { 25 } .

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.