Question

RESOLVA AS EQUAÇÕES!!
A - COS2X = 1
B - 2COSX - RAIZ DE 3 = 0
C - 2SEN2X + 3SENX - 2 = 0

OBS: NA LETRA A O 2 É AO QUADRADO, E NA LETRA C O SEGUNDO 2 É AO QUADRADO ( SE LÊ COS AO QUADRADO/ 2COS AO QUADRADO)

Answer 1

Resolver as equações trigonométricas

a) cos² x = 1

$\mathsf{cos\,x=\pm\,\sqrt{1}}\\\\ \mathsf{cos\,x=\pm\,1}\\\\ \begin{array}{rcl} \mathsf{cos\,x=1}&\mathsf{\quad ou\quad}&\mathsf{cos\,x=-\,1}\\\\ \mathsf{x=0+k\cdot 2\pi}&\mathsf{\quad ou\quad}&\mathsf{x=\pi+k\cdot 2\pi}\\\\ \mathsf{x=(2k)\cdot \pi}&\mathsf{\quad ou\quad}&\mathsf{x=(1+2k)\cdot \pi} \end{array}$

com k inteiro.

Como qualquer inteiro pode ser escrito como 2k ou 2k + 1, isso significa que as soluções são todos os múltiplos de π, pares e ímpares:

$\mathsf{x=n\pi}$

com n inteiro.

b) 2 cos x − √3 = 0

$\mathsf{2\,cos\,x=\sqrt{3}}\\\\ \mathsf{cos\,x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\\\\\\ \mathsf{cos\,x=cos\,\dfrac{\pi}{6}}$

Temos uma igualdade entre cossenos. Logo, devemos ter

$\mathsf{x=\pm\,\dfrac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi}\\\\\\ \mathsf{x=\pm\,\dfrac{\pi}{6}+k\cdot \dfrac{12\pi}{6}}\\\\\\ \mathsf{x=(\pm\,1+12k)\,\dfrac{\pi}{6}}\\\\\\ \begin{array}{rcl} \mathsf{x=(12k+1)\,\dfrac{\pi}{6}}&\mathsf{\quad ou\quad}&\mathsf{x=(12k-1)\,\dfrac{\pi}{6}} \end{array}$

com k inteiro.

c) 2 sen² x + 3 sen x − 2 = 0

Faça uma mudança de variável:

$\mathsf{sen\,x=t,\qquad\quad com~-1\le t\le 1}$

e a equação fica

$\mathsf{2t^2+3t-2=0}$

Esta é uma equação do 2ª grau na variável t. Os coeficientes são

$\mathsf{a=2,~~b=3,~~c=-2.}\\\\\\ \mathsf{\Delta=b^2-4ac}\\\\ \mathsf{\Delta=3^2-4\cdot 2\cdot (-2)}\\\\ \mathsf{\Delta=9+16}\\\\ \mathsf{\Delta=25}\\\\ \mathsf{\Delta=5^2}$

$\mathsf{t=\dfrac{-\,b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}}\\\\\\ \mathsf{t=\dfrac{-\,3\pm\sqrt{5^2}}{2\cdot 2}}\\\\\\ \mathsf{t=\dfrac{-\,3\pm 5}{4}}\\\\\\ \begin{array}{rcl} \mathsf{t=\dfrac{-\,3+5}{4}}&\mathsf{\quad ou\quad}&\mathsf{t=\dfrac{-\,3-5}{4}}\\\\ \mathsf{t=\dfrac{2}{4}}&\mathsf{\quad ou\quad}&\mathsf{t=\dfrac{-\,8}{4}}\\\\ \mathsf{t=\dfrac{1}{2}}&\mathsf{\quad ou\quad}&\mathsf{t=-\,2} \end{array}$

A raiz t = − 2 não serve, pois devemos ter − 1 ≤ t ≤ 1. Então, ficamos com

$\mathsf{t=\dfrac{1}{2}}\\\\\\ \mathsf{sen\,x=\dfrac{1}{2}}\\\\\\ \mathsf{sen\,x=sen\,\dfrac{\pi}{6}}$

Temos uma igualdade entre senos. Logo, devemos ter

$\begin{array}{rcl} \mathsf{x=\dfrac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi}&\mathsf{\quad ou\quad}&\mathsf{x=\Big(\pi-\dfrac{\pi}{6}\Big)+k\cdot 2\pi}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi}&\mathsf{\quad ou\quad}&\mathsf{x=\dfrac{5\pi}{6}+k\cdot 2\pi}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{\pi}{6}+k\cdot \dfrac{12\pi}{6}}&\mathsf{\quad ou\quad}&\mathsf{x=\dfrac{5\pi}{6}+k\cdot \dfrac{12\pi}{6}}\\\\\\ \mathsf{x=(1+12k)\,\dfrac{\pi}{6}}&\mathsf{\quad ou\quad}&\mathsf{x=(5+12k)\,\dfrac{\pi}{6}} \end{array}$

com k inteiro.

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)