Question

Resolva as equações.

Answer 1

Resposta:

45 a) x = 2                b) x = - 2/3                c) x = 6      

d) x = 8                     e) - 7/2                        f)  x = 5

Explicação passo a passo:

Observação 1 → Resolução funções exponenciais

As funções exponenciais são identificáveis por terem a incógnita em

expoente de potências de base, muitas vezes, numérica.

O modo de as resolver é montar em cada membro da equação uma

potência com a mesma base.

Se duas potências têm a mesma base, para que sejam iguais , seus

expoentes terão que serem iguais entre si.  

45 a)

$3^{x+1}=27$

$3^{x+1}=3^{3}$

$x+1=3$

x = 2

b)

$(0,25)^{2x+3}=4^{x-1}$

As bases das potências não são iguais.  

Vou resolver. Para acompanhar bem veja as Observações abaixo.

$(\frac{1}{4} )^{2x+3}=4^{x-1}$

$(\frac{4}{1} )^{-(2x+3)}=4^{x-1}$

$4^{-(2x+3)}=4^{x-1}$

$-(2x+3)=x-1$

$-2x-3=x-1$

$-2x-x=-1+3$

$-3x=2$

x = - 2/3

Observação 2 → Mudança de sinal do expoente de uma potência

Para podermos mudar o sinal do expoente de uma potência, temos que

inicialmente inverter a base da potência.

c)

$\sqrt{7^{x} } =343$      

Observação 3 → Transformar radical em potência de expoente fracionário

Usando a relação :

$\sqrt[n]{a^{x} } =a^{\frac{x}{n} }$  pode-se transformar então um radical numa potência de expoente fracionário.

Exemplo, este caso:

$\sqrt{7^{x} } =\sqrt[2]{7^{x} } =7^{\frac{x}{2} }$  

Continuando a resolução:

$\sqrt{7^{x} } =343$    

$7^{\frac{x}{2} }=7^{3}$

$\frac{x}{2} =3$    

$\frac{x}{2} =\frac{3}{1}$

produto cruzado

x = 6  

d)

$5^{\frac{3}{2} x} =125^{4}$

No primeiro membro temos uma potência de base 5.

No segundo membro vamos também o ter. 125 = 5³

Mas 125 está elevado a 4.

O que vai ver a seguir é uma potência de potência.

Tem a regra aqui, já:

Observação 4 → Potência de potência

Quando temos potência de potência, mantemos a base e multiplicamos os

expoentes.

(Só em potência de potência se multiplicam expoentes )

$5^{\frac{3}{2} x} =125^{4}$

$5^{\frac{3}{2} x} =(5^{3} )^{4}$

$5^{\frac{3}{2} x} =5^{12}$

$\frac{3}{2} x=12$

$\frac{3}{2} *\frac{x}{1} =12$

$\frac{3x}{2} =\frac{12}{1}$

Observação 5  → Frações numa equação

Numa equação, quando existem frações com denominadores diferentes, é

necessário fazer com que tenham todas os mesmo denominador.

Atenção são todos os termos da equação na forma de fração.

Quando tiverem todas o mesmo denominador "ele pode ser retirado".

$\frac{3x}{2} =\frac{12*2}{1*2}$

$\frac{3x}{2} =\frac{24}{2}$

$3x=24$

$\frac{3x}{3} =\frac{24}{3}$

x = 8

e)

$\sqrt[6]{1000} *10^{x} =0,001$

Usar novamente a passagem de um radical para uma potência de expoente fracionário.

Ter em atenção que 0,001 = 1/1000 = uma milésima

$\sqrt[6]{10^{3} } *10^{x} =\frac{1}{1000}$

$10^{\frac{3}{6} } *10^{x} =\frac{1}{10^{3} }$

Observação 6  → Produto de potências com a mesma base.

Mantém-se a base e adicionam-se os expoentes.

$10^{\frac{3}{6} +x} =\frac{1^3}{10^{3} }$

$10^{\frac{3}{6} +x} =(\frac{1}{10}) ^{3}$

$10^{\frac{3}{6} +x} =(\frac{10}{1}) ^{-3}$

$10^{\frac{3}{6} +x} =10^{-3}$

( Ver observação 1 )

${\frac{3}{6} +x =-3$

${\frac{3}{6} +\frac{x}{1} =-\frac{3}{1}$

Multiplicar a segunda e terceira fração por 6 ,no numerador e no

denominador, de modo a que todas as frações tenham o mesmo

denominador.

${\frac{3}{6} +\frac{x*6}{1*6} =-\frac{3*6}{1*6}$

Agora podem "ser retirados" os denominadores, sendo todos iguais.

$3+x*6 =-18$

$6x =-18-3$

$x =-\frac{21}{6}$

simplificando a fração

$x =-\frac{21:3}{6:3}$

$x =-\frac{7}{2}$

e)

$\frac{8^{x} }{2^{x+2} } =256$

Ao olhar para este exercício, é possível ver que consegue-se colocar tudo como potência de base 2

$8=2^{3}$

$256=2^{8}$

$\frac{(2^{3}) ^{x} }{2^{x+2} } =256$

$\frac{2^{3x} }{2^{x+2} } =256$

${2^{3x-(x+2)} = 2^{8}$

$3x-(x+2) = 8$

Observação 7  → O sinal "menos" antes de um parêntesis

faz trocar o sinal  das parcelas que estão lá dentro, quando saem.

$3x-x-2 = 8$

$2x = 8+2$

$2x/2 = 10/2$

x = 5  

Bons estudos.

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Sinais: ( * ) multiplicação     ( / ) e ( : )  divisão