Matemática, perguntado por gryan8176, 5 meses atrás

resolva as equação exponencial
4  ^{x}  - 2 ^{x = 12}

Soluções para a tarefa

Respondido por SubGui
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Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedade estudadas sobre equações expoenenciais e equações quadráticas.

Seja a equação exponencial: 4^x-2^x=12.

Observe que podemos reescrever 4^x=(2^2)^x=(2^x)^2.

Assim, teremos:

(2^x)^2-2^x=12

Faça uma substituição y=2^x e subtraia 12 em ambos os lados da igualdade

y^2-y-12=0

Esta é uma equação quadrática de coeficientes reais ax^2+bx+c=0,~a\neq0, cujas soluções podem ser calculadas pela fórmula resolutiva: x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

Substituindo os coeficientes da equação, teremos:

y=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-12)}}{2\cdot1}

Calcule a potência, multiplique e some os valores

y=\dfrac{1\pm\sqrt{1+48}}{2}\\\\\\ y=\dfrac{1\pm\sqrt{49}}{2}

Calcule o radical, sabendo que 49=7^2

y=\dfrac{1\pm7}{2}

Separe as soluções, some os valores e simplifique as frações

y=\dfrac{1-7}{2}~~\bold{ou}~~y=\dfrac{1+7}{2}\\\\\\\Rightarrow y=-3~~\bold{ou}~~ y=4

Porém, sabendo que a função exponencial a^x é estritamente positiva quando 0<a\neq1, assumimos apenas solução y=4.

Desfazendo a substituição y=2^x, temos:

2^x=4

Sabendo que 4=2^2, igualamos as bases e os expoentes

2^x=2^2\\\\\\ x=2

O conjunto solução desta equação exponencial é:

\boxed{\bold{S=\{x\in\mathbb{R}~|~x=2\}}}

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