Question

resolva as equação exponencial
$4 ^{x} - 2 ^{x = 12}$
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Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedade estudadas sobre equações expoenenciais e equações quadráticas.

Seja a equação exponencial: $4^x-2^x=12$.

Observe que podemos reescrever $4^x=(2^2)^x=(2^x)^2$.

Assim, teremos:

$(2^x)^2-2^x=12$

Faça uma substituição $y=2^x$ e subtraia $12$ em ambos os lados da igualdade

$y^2-y-12=0$

Esta é uma equação quadrática de coeficientes reais $ax^2+bx+c=0,~a\neq0$, cujas soluções podem ser calculadas pela fórmula resolutiva: $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

Substituindo os coeficientes da equação, teremos:

$y=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-12)}}{2\cdot1}$

Calcule a potência, multiplique e some os valores

$y=\dfrac{1\pm\sqrt{1+48}}{2}\\\\\\ y=\dfrac{1\pm\sqrt{49}}{2}$

Calcule o radical, sabendo que $49=7^2$

$y=\dfrac{1\pm7}{2}$

Separe as soluções, some os valores e simplifique as frações

$y=\dfrac{1-7}{2}~~\bold{ou}~~y=\dfrac{1+7}{2}\\\\\\\Rightarrow y=-3~~\bold{ou}~~ y=4$

Porém, sabendo que a função exponencial $a^x$ é estritamente positiva quando $0<a\neq1$, assumimos apenas solução $y=4$.

Desfazendo a substituição $y=2^x$, temos:

$2^x=4$

Sabendo que $4=2^2$, igualamos as bases e os expoentes

$2^x=2^2\\\\\\ x=2$

O conjunto solução desta equação exponencial é:

$\boxed{\bold{S=\{x\in\mathbb{R}~|~x=2\}}}$