Question

Resolva analiticamente a seguinte equação:

$\ln(x)+\ln(-x)=0\quad \text{, com }\;x\in\mathbb{C}$

Answer 1

Desejamos resolver analiticamente a seguinte equação:

             $\large\displaystyle\begin{gathered}\ell n(x)+\ell n(-x) =0\ ,\ x\in \mathbb{C} \end{gathered}$

Para isso, vale lembrar a seguinte propriedade: $\Large\displaystyle\begin{gathered} a^{\ell og_a b} = b\end{gathered}$ , e como sabemos que o logaritmo natural $\large\displaystyle\begin{gathered}\ell n(x)\end{gathered}$ é a mesma coisa que $\large\displaystyle\begin{gathered}\ell og_{e} (x)\end{gathered}$, podemos elevar o número de Euler em ambos os lados da eq, ficando da seguinte forma:

 $\Large\displaystyle\begin{gathered}e^{\left[\ell n(x)+\ell n(-x) \right]}=e^0 \end{gathered}$

Utilizando a propriedade de multiplicação de potências de mesma base, temos que:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}e^{\ell n (x) } \cdot e^{\ell n (-x)} = 1\end{gathered}$

Que simplificando com a propriedade $\Large\displaystyle\begin{gathered} a^{\ell og_a b} = b\end{gathered}$:

$\large\displaystyle\begin{gathered}x \cdot (-x)=1\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}-x^2=1\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}x^2=-1\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}x=\pm \ \sqrt{-1}\end{gathered}$

Lembrando que $\large\displaystyle\begin{gathered} \sqrt{-1}=i\end{gathered}$ , logo:

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{S=\{ ( i\ ,-i )\}}\end{gathered} }$

Qualquer dúvida quanto a resolução dada é só chamar!

Veja mais sobre:

• brainly.com.br/tarefa/30412805

Answer 2

Resposta:

$\textsf{Leia abaixo}$

Explicação passo a passo:

$\sf ln(x) + ln(-x) = 0$

$\sf ln(x)\:.\:(-x) = 0$

$\sf ln\:[-(x^2)\:] = 0$

$\sf ln\:[-(x^2)\:] = ln\:e^0$

$\sf -x^2 = 1$

$\sf x^2 = -1$

$\sf x = \pm\:\sqrt{-1}$

$\sf x = \pm\:i$

$\boxed{\boxed{\sf S = \{i,\:-i\}}}$