Question

Resolva algebricamente, sem utilizar as regras de L'Hôpital, o limite:

$\mathsf{\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^a-1}{x}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (a\in}\mathbb{R})$

Answer 1

Resolver algebricamente o limite

     $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(1+x)^a-1}{x}\qquad\textsf{com } a\in \mathbb{R}.$

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Para $a=0,$ o valor do limite é imediato:

     $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^0-1}{x}\\\\\\ =\lim_{x\to 0}\frac{1-1}{x}\\\\\\ =\lim_{x\to 0}\frac{0}{x}\\\\\\ =\lim_{x\to 0} 0\\\\ =0$

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Vamos analisar o caso complementar, isto é, para $a\ne 0.$

Para qualquer $a\in\mathbb{R}^*,$ a função

     $f(x)=(1+x)^a$

é positiva em uma vizinhança de $x=0.$


Logo, podemos fazer uma simples mudança de variável:

     $(1+x)^a=e^t\\\\ \Rightarrow\quad\left\{\!\begin{array}{l}t=\ln[(1+x)^a]=a\ln(1+x)\\\\ x=e^{t/a}-1\end{array}\right.$

e $t\to 0$ quando $x\to 0.$


Assim, o limite fica

     $\displaystyle=\lim_{t\to 0}\frac{e^t-1}{e^{t/a}-1}\\\\\\ =\lim_{t\to 0}\frac{e^t-1}{t}\cdot \frac{t}{e^{t/a}-1}\\\\\\ =\lim_{t\to 0}\frac{e^t-1}{t}\cdot \frac{1}{~\frac{e^{t/a}-1}{t}~}\\\\\\ =\lim_{t\to 0} g(t)\cdot \frac{1}{h(t)}\qquad\quad\mathbf{(i)}$

com     $\left\{\begin{array}{l}g(t)=\dfrac{e^t-1}{t}\\\\ h(t)=\dfrac{e^{t/a}-1}{t}\end{array}\right.$


     •   O limite de $g(t)$ é um limite exponencial fundamental:

     $\displaystyle\lim_{t\to 0} g(t)\\\\ =\lim_{t\to 0}\dfrac{e^t-1}{t}\\\\\\ =\ln e\\\\ =1$


     •   O limite de $h(t)$ é análogo, bastando fazer uma mudança de variável:

     $u=\dfrac{t}{a}\quad\Rightarrow\quad t=au$

e $u\to 0$ quando $t\to 0:$

     $\displaystyle\lim_{t\to 0} h(t)\\\\ =\lim_{t\to 0}\dfrac{e^{t/a}-1}{t}\\\\\\ =\lim_{u\to 0} \dfrac{e^u-1}{au}\\\\\\ =\frac{1}{a}\lim_{u\to 0} \dfrac{e^u-1}{u}\\\\\\ =\frac{1}{a}\cdot 1\\\\\\ =\frac{1}{a}$



Logo, por propriedades operatórias dos limites, o limite $\mathbf{(i)}$ existe, e é igual a

     $\displaystyle=\lim_{t\to 0} g(t)\cdot \frac {1}{\lim\limits_{t\to 0} h(t)}\\\\\\ =1\cdot \frac{1}{~\frac{1}{a}~}\\\\\\ =1\cdot a\\\\ =a$

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Portanto, qualquer que seja $a\in\mathbb{R},$

     $\boxed{\begin{array}{c}\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(1+x)^a-1}{x}=a\end{array}}$


Bons estudos! :-)