Question

Resolva:

a) $2^{4/6} . 2^{8/3}$

b) $3^{7/2} . 6^{7/2}$

c) $\frac{4^{5/2}}{4^{2/3}}$

d) $\sqrt[5]{7^{2}} . \sqrt[3]{7^{4}}$

Por favor me ajudem!!!

Answer 1

a)

2^4/6+8/3

2^4/6+16/6

2^20/6 = 2^(10/3)

==================

b) 

3^7/2+7/2

3^14/2 = 3^(7)

==================

c)

4^5/2-2/3

4^15/6-4/6 = 4^(11/6) 

======================

d)

7^2/5+4/3

7^6/15+20/15 = 7^(26/15)                     ok

Answer 2

Multiplicação de potencias de mesma base:
$a^b\cdot a^c=a^{b+c}$
a)
$\displaystyle 2^{\frac{4}{6}}\cdot2^{\frac{8}{3}}=2^{\frac{4}{6}+\frac{8}{3}}\\\\veja~que:~\frac{4}{6}+\frac{8}{3}=\frac{12+48}{18}=\frac{60}{18}=\frac{30}{9}\\entao:\\\\2^{\frac{4}{6}}\cdot2^{\frac{8}{3}}=2^{\frac{30}{9}\approx10.079$

b)
$\displaystyle 3^{\frac{7}{2}}\cdot6^{\frac{7}{2}}=(46,76537...)\cdot(529,08978...)=24743,080487...\approx2473$ (usando a calculadora)

(vou usar um método mais avançado para comprovar isso)
qualquer potencia pode ser escrita como:
$a^b=e^{b\ln a}=\exp(b\ln a)$
logo:
$\displaystyle 3^{\frac{7}{2}}\cdot6^{\frac{7}{2}}=\exp\left(\frac{7}{2}\ln3\right)\cdot\exp\left(\frac{7}{2}\ln3\right)$
as regras da exponencial são as mesmas de potencias (se conhecer bem logaritmo e suas regras verá que se trata da operação inversa do ln)
$\exp(a)\cdot\exp(b)=\exp(a+b)\\\ln(a)+\ln(b)=\ln(a\cdot b)$

então:
$\displaystyle \exp\left(\frac{7}{2}\ln6\right)\cdot\exp\left(\frac{7}{2}\ln3\right)=\exp\left(\frac{7}{2}(\ln3+\ln6)\right)=\\\\\boxed{e^{10.116...}=24743,080487279670973834345918773\approx2473}$
o mesmo resultado que encontramos na calculadora.

c)
$\displaysytle \frac{4^{\frac{5}{2}}}{4^{\frac{2}{3}}}$
a divisão de potencias de mesma base é:
$\displaystyle \frac{a^b}{a^c}=a^{b-c}$
então:
$\displaysytle \frac{4^{\frac{5}{2}}}{4^{\frac{2}{3}}}=4^{\frac{5}{2}-\frac{2}{3}}=4^{\frac{15-4}{6}}=4^\frac{11}{6}=12,699208415745595798013645114178\\\\ou~seja:\\\\\boxed{4^\frac{11}{6}\approx12.7}$

d) $\displaystyle \sqrt[5]{7^2}\cdot\sqrt[3]{7^4}$
podemos escrever:
$\displaystyle \sqrt[a]{b^c}=b^{\frac{c}{a}}$
então:
$\displaystyle \sqrt[5]{7^2}\cdot\sqrt[3]{7^4}=7^{\frac{2}{5}}\cdot7^{\frac{4}{3}}=7^{\frac{2}{5}+\frac{4}{3}}=7^{\frac{6+20}{15}}=7^\frac{26}{15}\\\\7^{\frac{26}{15}}=29,163295787874003477749280072099\approx\boxed{29.2}$