Question

Resolva a seguinte integral:

$\displaystyle \int ^{ \infty } _{ - \infty } e {}^{ - x ^{2} }$
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Answer 1

Resposta:   $\displaystyle\int_{\mathbb{R}} e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi}.$

Explicação passo a passo:

Calcular a integral imprópria:

     $\displaystyle I=\int_{\mathbb{R}} e^{-x^2}\,dx$

Para resolver esta integral, vamos transformá-la em uma integral dupla no plano $\mathbb{R}^2.$

Eleve os dois lados ao quadrado:

     $\displaystyle\Longrightarrow\quad I^2=\left(\int_{\mathbb{R}} e^{-x^2}\,dx\right)^2\\\\ \Longleftrightarrow\quad I^2=\left(\int_{\mathbb{R}} e^{-x^2}\,dx\right)\cdot \left(\int_{\mathbb{R}} e^{-x^2}\,dx\right)$

O nome da variável na integral é irrelevante nesse caso. Então, podemos mudar a variável de um dos fatores do lado direito de x para y:

     $\displaystyle \Longleftrightarrow\quad I^2=\left(\int_{\mathbb{R}} e^{-y^2}\,dy\right)\cdot \left(\int_{\mathbb{R}} e^{-x^2}\,dx\right)\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad I^2=\int_{\mathbb{R}} e^{-y^2}\,dy \int_{\mathbb{R}} e^{-x^2}\,dx\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad I^2=\int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}}e^{-y^2}\cdot e^{-x^2}\,dy\,dx$

Simplifique as exponenciais de mesma base:

     $\displaystyle\Longleftrightarrow\quad I^2=\int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}}e^{-y^2-x^2}\,dy\,dx\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad I ^2=\iint_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2+y^2)}\,dy\,dx\qquad\mathrm{(i)}$

Façamos a mudança para coordenadas polares:

     $\left\{\begin{array}{l}x=r\cos\theta\\\\ y=r\, \mathrm{sen\,}\theta\end{array}\right.$

Disso, segue que

     $x^2+y^2=r^2$

e o módulo do Jacobiano dessa transformação é $|\mathrm{Jac}\,\varphi(r,\,\theta)|=r.$

Para percorrer todo o plano $\mathbb{R^2},$ devemos ter

     $r\in[0,\,+\infty[$  e  $\theta\in[0,\,2\pi].$

Substituindo em (i) e aplicando o Teorema de Fubini (integrais iteradas), temos

     $\displaystyle\Longleftrightarrow\quad I^2=\int_0^{2\pi}\int_0^{\infty} e^{-r^2}\cdot r\,dr\,d\theta\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad I^2=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\left(\int_0^{\infty} e^{-r^2}\cdot 2r\,dr\right)\!d\theta\qquad\mathrm{(ii)}$

Faça a substituição

     $r^2=u\quad\Longrightarrow\quad 2r\,dr=du$

• $u=0$ quando $r=0,$

• $u\to\infty$ quando $r\to\infty.$

Substituindo em (ii), temos

     $\displaystyle\Longleftrightarrow\quad I^2=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\left(\int_0^{\infty} e^{-u}\, du\right)\!d\theta\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad I^2=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\left(-e^{-u}\right)\Big|_0^{\infty}\, d\theta$

Como $\displaystyle\lim_{u\to \infty} e^{-u}=0,$ temos

     $\displaystyle\Longleftrightarrow\quad I^2=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}(-0-(-e^0))\,d\theta\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad I^2=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}(0+e^0)\,d\theta\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad I^2=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi} 1\,d\theta\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad I^2=\frac{1}{2}\cdot (2\pi-0)\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad I^2=\frac{1}{2}\cdot 2\pi\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad I^2=\pi$

e como a função $f(x)=e^{-x^2}$ é positiva para todo $x\in\mathbb{R},$ temos $I\ge 0.$ Portanto,

     $\Longrightarrow\quad I=\sqrt{\pi}\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta.}$

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Bons estudos!