Question

resolva a seguinte integral:

∫ sec³ xdx​

Answer 1

Resposta:

$\mathsf{\dfrac{1}{2}\cdot sec\,x \cdot tg\,x+\dfrac{1}{2}\cdot ln|sec\,x+tg\,x|+C}$

Explicação passo-a-passo:

Seja

$\mathsf{I=\int {sec^3\,x} \, dx \qquad(1)}$  

Logo:

$\mathsf{I=\int{sec^2\,x\cdot sec\,x\,dx}}$

1. Vamos fazer integração por partes. Usaremos as substituições:

$\mathsf{u=sec\,x \qquad\qquad\quad dv=sec^2\,x}$

$\mathsf{du=sec\,x\cdot tg\,x\,dx\qquad v=tg\,x}$

2. Portanto:

$\mathsf{I = u\cdot v- \int {v} \, du}$

$\mathsf{I=sec\,x\cdot tg\,x-\int{sec\,x\cdot tg^2\x}\,dx\qquad(2)}$

3. Mas, pela relação trigonométrica fundamental, temos que:

$\mathsf{tg^2\,x=sec^2\,x-1\qquad(3)}$

4. Substituindo (3) em (2), fica:

$\mathsf{I=sec\,x\cdot tg\,x-\int{sec\,x\cdot (sec^2\,x-1)}\,dx}$

$\mathsf{I=sec\,x\cdot tg\,x-\int{sec^3\,x}\,dx+\int{sec\,x}\,dx\qquad(4)}$

5. Substituindo ( 1 ) em (4), obtemos:

$\mathsf{I=sec\,x\cdot tg\,x-I+\int{sec\,x}\,dx}$

$\mathsf{2\cdot I=sec\,x\cdot tg\,x+\int{sec\,x}\,dx}$

$\boxed{\mathsf{\therefore I=\dfrac{1}{2}\cdot sec\,x\cdot tg\,x+\dfrac{1}{2}\cdot ln|sec\,x+tg\,x|+C}}$

Continue aprendendo com o link abaixo:

Integração por partes

https://brainly.com.br/tarefa/27500153

Bons estudos! =]

Equipe Brainly