Question

Resolva a seguinte integral indefinida:

$\mathsf{\displaystyle\int \sqrt{x^{2} - 2x^{4}} \cdot dx}$

Answer 1

Calcular a integral indefinida:

     $\displaystyle\int\sqrt{x^2-2x^4}\,dx$

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Observação quanto ao domínio da função

     $f(x)=\sqrt{x^2-2x^4}$


Devemos ter

     $x^2-2x^4\ge 0$

     $x^2\cdot (1-2x^2)\ge 0\quad\longleftarrow\quad\textsf{inequa\c{c}\~ao-produto.}$


O fator  x²  nunca é negativo.  Logo, para que a inequação seja satisfeita, basta que tenhamos

     $1-2x^2\ge 0\\\\ 1\ge 2x^2\\\\ x^2\le \dfrac{1}{2}\\\\ |x|\le \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

     $-\,\dfrac{1}{\sqrt{2}}\le x\le \dfrac{1}{\sqrt{2}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{dom\'inio de }f.$

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Para  x  neste domínio real, podemos reescrever a integral como

     $\displaystyle\int\sqrt{x^2-2x^4}\,dx\\\\\\ =\int\sqrt{x^2\cdot (1-2x^2)}\,dx\\\\\\ =\int\sqrt{x^2}\cdot \sqrt{(1-2x^2)}\,dx\\\\\\ =\int|x|\cdot \sqrt{1-2x^2}\,dx\\\\\\ =\frac{1}{4}\int 4|x|\cdot \sqrt{1-2x^2}\,dx$


•   Para simplificar o módulo, vamos analisar a primitiva considerando  $0\le x\le \dfrac{1}{\sqrt{2}:}$

      $0\le x\le \dfrac{1}{\sqrt{2}}\quad\Rightarrow\quad |x|=x$


de modo que a integral fica

     $\displaystyle\frac{1}{4}\int 4x\sqrt{1-2x^2}\,dx\\\\\\ =\frac{1}{4}\int 4x\sqrt{1-2x^2}\,dx\\\\\\ =-\,\frac{1}{4}\int \sqrt{1-2x^2}\cdot (-4x)\,dx$


Faça a seguinte substituição:

     $u=1-2x^2\quad\Rightarrow\quad du=-4x\,dx$


de modo que a integral fica

     $\displaystyle-\,\frac{1}{4}\int \sqrt{u}\,du\\\\\\ =-\,\frac{1}{4}\int u^{1/2}\,du\\\\\\ =-\,\frac{1}{4}\cdot \frac{u^{(1/2)+1}}{\frac{1}{2}+1}+C\\\\\\ =-\,\frac{1}{4}\cdot \frac{u^{3/2}}{\frac{3}{2}}+C\\\\\\ =-\,\frac{1}{4}\cdot \frac{2}{3}u^{3/2}+C\\\\\\ =-\,\frac{2}{12}\,u^{3/2}+C\\\\\\ =-\,\frac{1}{6}\,u^{3/2}+C$

     $=-\,\dfrac{1}{6}\,(1-2x^2)^{3/2}+C$


•   De modo análogo, analisando a primitiva considerando  $-\,\dfrac{1}{\sqrt{2}}\le x<0,$  chegamos a outra expressão para a primitiva, apenas com o sinal trocado:

     $\displaystyle\int\sqrt{x^2-2x^4}\,dx=\frac{1}{6}\,(1-2x^2)^{3/2}+C$

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Em resumo,

     $\displaystyle\int\sqrt{x^2-2x^4}\,dx=\left\{ \begin{array}{rl} -\,\dfrac{1}{6}\,(1-2x^2)^{3/2}+C\,,&\textsf{se~~}0\le x\le \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\\\ \dfrac{1}{6}\,(1-2x^2)^{3/2}+C\,,&\textsf{se~~}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\le x<0 \end{array} \right.$

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Perceba que a lei da primitiva muda de sentença quando o sinal de  x  muda.  Caso o valor de  x  não seja nulo no intervalo de integração, podemos usar a função sinal para compactar a expressão da primitiva em uma única sentença:

     $\displaystyle\int\sqrt{x^2-2x^4}\,dx=-\,\frac{|x|}{x}\cdot \frac{1}{6}\,(1-2x^2)^{3/2}+C\\\\\\ \int\sqrt{x^2-2x^4}\,dx=-\,\frac{|x|\cdot (1-2x^2)^{3/2}}{6x}+C\\\\\\ \int\sqrt{x^2-2x^4}\,dx=-\,\frac{|x|\cdot (1-2x^2)^{(1/2)+1}}{6x}+C\\\\\\ \int\sqrt{x^2-2x^4}\,dx=-\,\frac{|x|\cdot (1-2x^2)^{1/2}\cdot (1- 2x^2)^1}{6x}+C\\\\\\ \int\sqrt{x^2-2x^4}\,dx=-\,\frac{\sqrt{x^2}\cdot \sqrt{1-2x^2}\cdot (1-2x^2)}{6x}+C$

     $\displaystyle\int\sqrt{x^2-2x^4}\,dx=-\,\frac{\sqrt{x^2\cdot (1-2x^2)}\cdot (1-2x^2)}{6x}+C\\\\\\ \int\sqrt{x^2-2x^4}\,dx=\frac{\sqrt{x^2-2x^4}\cdot (2x^2-1)}{6x}+C$

      para  x ≠ 0.


Bons estudos! :-)