Question

Resolva a seguinte integral :

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\ln|x|-\dfrac{\ln|x^2+1|}{2}-\arctan(x)-\dfrac{1}{2(x^2+1)}+C,~C\in\mathbb{R}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta integral, utilizaremos o método das frações parciais.

Seja a integral:

$\displaystyle{\int \dfrac{1-x+2x^2-x^3}{x(x^2+1)^2}\,dx$

Separamos a fração como uma soma de frações

$\displaystyle{\int \dfrac{A}{x}+\dfrac{Bx+C}{(x^2+1)}+\dfrac{Dx+E}{(x^2+1)^2}\,dx$

Comparando esta soma com a fração inicial, podemos determinar seus coeficientes

$\dfrac{A}{x}+\dfrac{Bx+C}{(x^2+1)}+\dfrac{Dx+E}{(x^2+1)^2}=\dfrac{1-x+2x^2-x^3}{x(x^2+1)^2}$

Multiplique ambos os lados da equação por $x(x^2+1)^2$

$A(x^2+1)^2+(Bx+C)x(x^2+1)+(Dx+E)x=1-x+2x^2-x^3$

Fazendo $x=0$, teremos

$A(0^2+1)^2+(B\cdot0+C)\cdot0(0^2+1)+(D\cdot0+E)\cdot0=1-0+2\cdot0^2-0^3\\\\\\\ A = 1$

Fazendo $x=i$, teremos

$A(i^2+1)^2+(B\cdot i+C)\cdot i(i^2+1)+(D\cdot i +E)\cdot i =1-i+2\cdot i^2-i^3\\\\\\ Ei-D=-1$

Facilmente, podemos ver que $E=0$ e $D=1$.

Fazendo $x=1$, teremos a equação

$A(1^2+1)^2+(B+C)\cdot1(1^2+1)+(D\cdot1+E)\cdot1=1-1+2\cdot1^2-1^3\\\\\\\ 4+2(B+C)+1=1$

Isole a soma $B+C$

$B+C=-2$

Fazendo $x=-1$, teremos outra equação

$A((-1)^2+1)^2+(-B+C)1((-1)^2+1)+(-D+E)(-1)=1-(-1)+2\cdot(-1)^2-(-1)^3\\\\\\\ 4+2(B-C)+1=5$

Facilmente, podemos ver que $B-C=0$. Montando um sistema de equações, teremos

$\begin{cases}B+C=-2\\B-C=0\\\end{cases}$

Somando as equações, temos

$2B=-2$

Logo, $B=-1$. Substituindo este valor em qualquer uma das equações, temos $C=-1$.

Nossa integral se torna:

$\displaystyle{\int \dfrac{1}{x}+\dfrac{-x-1}{(x^2+1)}+\dfrac{x}{(x^2+1)^2}\,dx$

Separe a segunda equação como uma soma de frações

$\displaystyle{\int \dfrac{1}{x}-\dfrac{x}{x^2+1}-\dfrac{1}{(x^2+1)}+\dfrac{x}{(x^2+1)^2}\,dx$

Lembre-se que $\displaystyle{\int f(x)\pm g(x)\,dx=\int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx$, logo

$\displaystyle{\int \dfrac{1}{x}\,dx-\int \dfrac{x}{x^2+1}\,dx-\int \dfrac{1}{(x^2+1)}\,dx+\int \dfrac{x}{(x^2+1)^2}\,dx$

Calcule as integrais

$\ln|x|+C_1-\dfrac{\ln|x^2+1|}{2}-\dfrac{C_2}{2}-\arctan(x)-C_3-\dfrac{1}{2(x^2+1)}+\dfrac{C_4}{2}$

Considere $C_1-\dfrac{C_2}{2}-C_3+\dfrac{C_4}{2}=C$

$\ln|x|-\dfrac{\ln|x^2+1|}{2}-\arctan(x)-\dfrac{1}{2(x^2+1)}+C,~C\in\mathbb{R}$

Este é o resultado desta integral.