Question

Resolva a seguinte inequação:

x².(x²-5x+6).(3x-x²).(x²+49)>0

Resposta: 0<x<2

Answer 1

Olá Vaneborges, boa tarde!!

 Como podemos notar, temos uma inequação-produto. Observemos, também, que os fatores que estão elevados a expoentes pares (ou que serão sempre positivos) não irão alterar a desigualdade. Por isso, podemos desconsiderá-los. 

 Isto posto, devemos determinar o conjunto-solução da seguinte inequação:

$\mathbf{(x^2 - 5x + 6) \cdot (3x - x^2) > 0}$

 Quanto ao primeiro fator:

$\\ \mathsf{x^2 - 5x + 6 = 0} \\\\ \mathsf{(x - 2)(x - 3) = 0} \\\\ \mathsf{S = \left \{ 2, 3 \right \}}$

 Determinadas as raízes, estudamos o sinal de $\mathsf{x^2 - 5x + 6 > 0}$.


___+___(2)____-____(3)____+____


 
 Quanto ao segundo fator

$\\ \mathsf{3x - x^2 = 0} \\\\ \mathsf{x(3 - x) = 0} \\\\ \mathsf{S = \left \{ - 3, 0 \right \}}$

 Determinadas as raízes, estudamos o sinal de $\mathsf{3x - x^2 > 0}$.


___-___(- 3)____+____(0)____-____


 Por conseguinte, temos:

___+________+_____(2)____-_____(3)__+___
___-___(0)___+___________+_____(3)__-___
___-___(0)___+_____(2)____-_____(3)__-___
  

 Ora, ">" => "+". Logo, $\boxed{\mathbf{\left \{x \in \mathbb{R}; 0 < x < 2 \right \}}}$.


 Espero ter ajudado!!

 Qualquer dúvida, comente!