Question

Resolva a seguinte inequação modular:
|$| x^{2} -4x| -3x + 6 \leq 0$


R=$S = { XER | 3 \leq x \leq 6}$

Eu gostaria de saber de onde veio esse três?

Answer 1

Bom dia Alina!

Solução!

$Propriedade ~~do~~modulo~~dos~~numeros~~reais~~K,para~~k\ \textgreater \ o\\\\\\ |x|\ \textless \ k~~\Longleftrightarrow~~-k\ \textless \ x\ \textless \ k\\\\ |x|\ \textgreater \ k~~\Longleftrightarrow~~x\ \textless \ k~~ou~~x\ \textgreater \ k$


$| x^{2} -4x|-3x+6 \leq 0\\\\\ x^{2} -4x-3x+6 \leq 0\\\\\ x^{2} -7x+6 \leq 0\\\\\\\ x= \dfrac{7\pm \sqrt{(-7)^{2}-4.1.6 } }{2.1}\\\\\\ x= \dfrac{7\pm \sqrt{49-24} }{2}\\\\\\ x= \dfrac{7\pm \sqrt{25} }{2}\\\\\\ x= \dfrac{7\pm 5 }{2}\\\\\\ x_{1}= \dfrac{7+5}{2}= \dfrac{12}{2} =\boxed{6}\\\\\\\ x_{1}= \dfrac{7-5}{2}= \dfrac{2}{2} =1$



Vamos fazer para outro sinal do modulo!


$| x^{2} -4x|+3x-6 \leq 0\\\\\- x^{2} -4x+3x-6 \leq 0\\\\\\ x^{2} -x-6 \leq 0\\\\\\ x= \dfrac{1\pm \sqrt{(-1)^{2}-4.1.-6 } }{2.1}\\\\\\ x= \dfrac{1\pm \sqrt{1+24 } }{2}\\\\\\ x= \dfrac{1\pm \sqrt{25 } }{2}\\\\\\ x= \dfrac{1\pm 5 }{2}\\\\\\\\\\ x_{1}= \dfrac{1+5}{2}= \dfrac{6}{2}=\boxed{3}\\\\\\\ x_{2}= \dfrac{1-5}{2}= \dfrac{-4}{2}=-2$



Obs: veja que as parábolas tem concavidade voltadas para cima,então a parte de interessa é somente aquela que fica abaixo do eixo x  que torna a solução verdadeira.



Fazendo a intersecção de I e II.



$I\cap II=\{3,4,5,6\}\\\\\\\\\ \boxed{Resposta:S=\{x~\in~\mathbb{R}~|~x~~3 \leq x \leq 6\}}$

Bom dia!
Bons estudos!