Question

Resolva a seguinte equação:

x² - 2ˣ = 0

Answer 1

Resposta:

$\begin{cases} \red{x_1 = 2} \\ \red{x_2 = 4} \\ \red{x_3 =-0,7666646960} \end{cases}$

Explicação passo-a-passo:

Depois de várias tentativas fracassadas, observei que parece realmente impossível resolver esse problema analiticamente (isso para achar a solução negativa), todavia existe um método (pouco conhecido) pelo qual podemos encontrar aproximações sucessivamente melhores para essa solução negativa. O chamado de método de Newton-Raphson,

$\boxed{x_{n + 1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}}$

A princípio (é notório que as raízes 2 e 4 verificam a igualdade na equação), podemos simplesmente transformar essa expressão de uma forma que seja realmente óbvio que as raízes 2 e 4 satisfazem a equação, observe,

$x^2 - 2^x = 0$

$\iff x^2 = 2^x ~~~~~~[\green{\maltese}]$

Podemos começar aplicando o logaritmo natural em ambos os membros e rearranjar um pouco a equação, observe,

$\iff \ln (x^2) = \ln(2^x)$

$\iff 2 \ln(x) = x \ln (2) ~~~~[ \green{\star}]$

$\iff \dfrac{\ln(\red{x})}{\green{x}} = \dfrac{\ln(\red{2})}{\green{2}}$

(portanto, temos deste modo a primeira solução para a equação)

$\Longrightarrow \boxed{x = 2}~~~\red{\checkmark}$

Voltando em $[ \green{\star}]$ e multiplicando toda a equação por 2 encontraremos a segunda solução, observe,

$\iff 2 *\blue{2} \ln(x) = \blue{2}* x \ln (2)$

$\iff 4 \ln(x) = 2x \ln (2)$

$\iff 4\ln(x) = x \ln(4)$

$\iff \dfrac{\ln( \red{x})}{ \green{x}} = \dfrac{\ln( \red{4})}{ \green{4}}$

$\Longrightarrow \boxed{x = 4}~~~\red{\checkmark}$

(todavia, não paramos por aqui, pois essas não são as únicas soluções para a equação)

Voltando em $[\maltese]$ e plotando os gráficos no mesmo S.C.O observaremos que o problema tem três soluções, sendo duas destas positivas e a restante negativa, e é essa a solução negativa sobre o qual me referia inicialmente, razão pela qual destaquei o método de Newton – Raphson,  que consiste em obter as raízes de uma função partindo de um pressuposto geométrico, pois a partir da visualização gráfica, alguns pontos serão facilmente compreendidos. Em suma, o método de Newton-Raphson é um procedimento iteractivo baseado em aproximações sucessivas.

$x^2 - 2^x = 0$

Observe que a equação permite ser escrita na forma $f(x) = 0$ , portanto essencialmente pretendemos calcular as raízes da função f(x), ou seja, pretendemos agora encontrar o valor de x, para qual a função é nula.

$\iff f(x) = 2^x - x^2$

Devemos escolher como solução um número real x₀, a função $f(x)$ deve ser derivável em torno de x₀ .Quanto mais próximo da raiz verdadeira for esse ponto escolhido, mais rápido o procedimento converge para a raiz requerida.

O nosso chute inicial será x₀ = – 1 , pois pelo gráfico anexado nota-se que x = – 1 está mais próximo da raiz negativa.

Deste modo aplicando o método ficaremos com $f'(x) = 2^x \ln(x) - 2x$, portanto, a primeira aproximação para a raiz, x₁ será igual,

$\Longrightarrow x_1 = x_{\mathsf{o}} - \dfrac{f(x_{\mathsf{o}})}{f'(x_{\mathsf{o}})}$

$\iff x_1 = -0,7869233668$

Decerto que não podemos parar agora, pois o erro ainda não é inferior a 10⁻⁵ (está é apenas a primeira estimativa, a próxima estimativa será $x_2$. Então, usando esse palpite, aplicamos a mesma fórmula para encontrar uma nova estimativa, $x_3$).

$\epsilon = |x_1 - x_{\mathsf{o}}| = |-0,7869233668 -(-1)| \\ \\ \Longrightarrow \epsilon = 0,213076633$

Portanto, encontram-se as próximas interações do método na forma tabelar, para a simplificação dos dados obtidos sem necessariamente precisar de repetir este procedimento diversas vezes,

$\over\underline{\overline{\begin{array}{||c|c|c|c|c|c|| } \underset{\downarrow}{n}& \underset{\downarrow}{x_n}& \underset{\downarrow}{f(x_n)} & \underset{\downarrow}{f'(x_n)} & \underset{\downarrow}{x_{n + 1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}} & \underset{\downarrow}{\epsilon = \left|x_{n + 1} - x_n \right|} \\ \\</p><p>0 & \green{- 1} & \green{- 0,5} & \green{2,346573590} & \green{-0,7869233668} & \green{0, 2130766332} \\ \\</p><p> 1 & \green{- 0, 7869233668} & \green{- 0, 0396696240} & \green{1,975580118} & \green{- 0, 7668433793} & \green{0, 0200799875} \\ \\2 & \green{-0, 7668433793} & \green{-0, 0003468060} & \green{1, 941050717} & \green{- 0, 7666647101} & \green{0, 0001786692509} \\ \\ 3 & \green{- 0, 7666647101} & \green{- 0, 00000000274} & \green{1,94074383} & - 0, 7666646960 & \green{ 0, 000000000141} \\ \end{array}~~~~~}}$

(portanto, concluímos que a terceira solução é):

$\iff \boxed{x = -0,7666646960}$

Com o auxílio de uma calculadora é possível verificar que realmente o valor acima satisfaz a equação,

$(-0,7666646960)^2 = 2^{-0,7666646960}$

Espero ter colaborado!)