Question

Resolva a seguinte equação trigonométrica:
cos(θ) - cos(8θ) = 0

Answer 1

A equação cos θ – cos 8θ = 0 é satisfeita para θ = 2kπ/7 ou θ = 2kπ/9 ; k é um número inteiro.

➯ Primeira Resolução

Antes de tudo, é fundamental sabermos que existem três tipos possíveis de equações trigonométricas básicas, denominadas equações trigonométricas fundamentais. Elas são chamadas “fundamentais” porque sempre estão presentes na resolução de qualquer equação trigonométrica, independentemente do grau de complexidade da equação. Em outras palavras, se você não conhece as equações fundamentais e, consequentemente, não sabe como solucioná-las, no máximo determinará o conjunto solução “no chute” (veja que ainda sim é possível resolver, porém a chance de não “enxergar” soluções é esmagadora; sem contar que o rigor matemático é inexistente). Sem mais delongas, seguem os três únicos tipos de equação trigonométrica fundamental:

$\boxed{\ \ \begin{array}{c}\\ \sf sen\:x=sen\:y\\\\ \sf cos\:x=cos\:y\\\\ \sf tg\:x=tg\:y\\ \\\end{array}\ \ }$

, válidas para quaisquer valores reais para os quais cada uma destas três equações está definida. Melhor dizendo, para cada caso, x e y devem ser valores pertencentes ao domínio da função trigonométrica em questão. Após uma boa análise no ciclo trigonométrico, descobrimos que:

$\:\!\sf sen\:x=sen\:y\ \ \iff\ \ \begin{cases}\,\sf x=y+2k\pi\\\\ \,\sf ou\\\\ \,\sf x=\pi-y+2k\pi\end{cases}$

$\huge\text{\sf -----------\ \sf\small\LaTeX\ \,\huge-----------}$

$^{}\sf cos\:x=cos\:y\ \ \iff\ \ \begin{cases}\,\sf x=y+2k\pi\\\\ \,\sf ou\\\\ \,\sf x=-^{}y+2k\pi\end{cases}$

$\huge\text{\sf -----------\ \sf\small\LaTeX\ \,\huge-----------}$

$^{}\sf tg\:x=tg\:y\ \ \iff\ \ x=y+k\pi$

, onde k ∈ ℤ e a letra regra π (pi) denota o famoso número real irracional que vale aproximadamente 3,1416. Tendo em mente tudo que foi dito, vamos agora resolver a equação

$\sf cos\:\theta-cos\:^{}8^{}\theta=0\qquad\boldsymbol{\sf (\:1\:)}$

Manipulando a eq. ( 1 ), encontramos:

$\begin{array}{l}\sf cos\:\theta-cos\:8^{}\theta=0\\\\ \sf cos\:\theta-cos\:8^{}\theta+cos\:^{}8^{}\theta=0+cos\:^{}8^{}\theta\\\\ \sf cos\:\theta=cos\:8^{}\theta\\\\ \sf cos\:8^{}\theta=cos\:\theta\end{array}$

Como vimos, os cossenos de dois arcos são iguais se, e só se, eles forem côngruos (têm a mesma imagem no ciclo) ou se possuírem imagens simétricas em relação ao eixo dos cossenos, isto é, serem replementares. Nesse sentido,  

$\!\!\!\begin{array}{l}\sf cos\:^{}8^{}\theta=cos\:\theta\ \ \iff\ \ \begin{cases}\,\sf 8^{}\theta=^{}\theta+2k\pi\qquad\boldsymbol{\sf (\:2\:)}\\\\ \,\sf ou\\\\ \,\sf 8^{}\theta=-^{}{}^{}\theta+2k\pi\qquad\boldsymbol{\sf (\:3\:)}\end{cases}\end{array}$

Desenvolvendo a eq. ( 2 ) :

$\begin{array}{l}\sf 8^{}\theta=\theta+2k\pi\\\\ \sf 8^{}\theta-\theta=2k\pi\\\\ \sf 7\theta=2^{}k\pi\\\\ \boxed{\sf \theta=\dfrac{2k\pi}{7}}\end{array}$

Depois, a eq. ( 3 ) :

$\begin{array}{l}\sf 8{}^{}\theta=-\:\!\theta+2k\pi\\\\ \sf 8{}^{}\theta+\theta=2k\pi\\\\ \sf 9{}^{}\theta=2^{}k\pi\\\\ \boxed{\sf\theta=\dfrac{2k\pi}{9}}\end{array}$

Portanto, o conjunto solução S da equação ( 1 ) é o conjunto constituído por todos os infinitos números reais provenientes das duas expressões logradas com base em ( 2 ) e ( 3 ), ou seja,

$\boxed{\boxed{\boxed{\ \begin{array}{l}\\ \boldsymbol{\sf S}^{}\sf=\left\{\theta^{}\in^{}\mathbb{R}\ \Big|\ \theta=\dfrac{2k\pi}{7}\ \, \vee\ \, \theta=\dfrac{2k\pi}{9}\right\}\\ \\ \end{array}\ }}}$

➯ Segunda Resolução

Também poderíamos ter transformado em produto o primeiro membro da equação ( 1 ) por meio de uma das fórmulas de Prostaférese. As fórmulas de Prostaférese para seno e cosseno são dadas por:

$\boxed{\ \ \ \begin{array}{l}\\ \sf sen\:x+sen\:y=2\,sen\!\left(\dfrac{x+y}{2}\right)\!cos\!\left(\dfrac{x-y}{2}\right)\\\\ \sf sen\:x-sen\:y=2\,sen\!\left(\dfrac{x-y}{2}\right)\!cos\!\left(\dfrac{x+y}{2}\right)\\\\ \sf cos\:x+cos\:y=2\,cos\!\left(\dfrac{x+y}{2}\right)\!cos\!\left(\dfrac{x-y}{2}\right)\\\\ \sf cos\:x-cos\:y=2\,sen\!\left(\dfrac{x+y}{2}\right)\!sen\!\left(\dfrac{y-x}{2}\right)\\ \\ \end{array}\ \ \ }$

Partindo novamente de ( 1 ) e aplicando uma das fórmulas acima (a da diferença de cossenos) em seu primeiro membro, obteremos:

$\begin{array}{l}\sf cos\:\theta-cos\:8^{}\theta=0\\\\ \sf 2\,sen\!\left(\dfrac{\theta+8\theta}{2}\right)\!sen\!\left(\dfrac{8^{}\theta-\theta}{2}\right)\!\:\!=0\\\\ \sf 2\,sen\!\left(\dfrac{9^{}\theta}{2}\right)\!sen\!\left(\dfrac{7\theta}{2}\right)\!\:\!=0\\\\ \therefore\begin{cases}\,\sf sen\!\left(\dfrac{9^{}\theta}{2}\right)\!\:\!=0\qquad\boldsymbol{\sf (\:4\:)}\\\\ \,\sf ou\\\\ \,\sf sen\!\left(\dfrac{7\theta}{2}\right)\!\:\!=0\qquad\boldsymbol{\sf (\:^{}5\:)}\end{cases}\end{array}$

Caso desenvolvêssemos aqui as equações ( 4 ) e ( 5 ), encontraríamos facilmente θ = 2kπ/7 ou θ = 2kπ/9, confirmando, portanto, que o conjunto solução S está correto.

Obs.: para obter θ = 2kπ/7 ou θ = 2kπ/9 a partir de ( 4 ) e ( 5 ), basta usar o fato de que sen kπ vale 0 (zero), ∀k ∈ ℤ .