Question

resolva a seguinte equação trigonométrica
1+3tan(x)^2=5*séc(x)

Answer 1

1 + 3Tan²(x) = 5sec(x)   → Tan²(x) = Sec²(x) - 1

Logo,

1 + 3*[ Sec²(x) - 1] = 5Sec(x)

1 + 3Sec²(x) - 3 = 5Sec(x)

3Sec²(x) - 2 = 5Sec(x)   ← Passando Sec(x) pro primeiro membro da equação:

3sec²(x) -5sec(x) - 2 = 0 ← Fazendo Sec(x) = Y obtemos


3Y² -5Y - 2 = 0   onde,    a = 3
                                        b = -5
                                        c = -2


Resolvendo por Bascara:


Δ = b² -4*a*c

Δ =  (-5)² - 4*3*(-2)

Δ = 25 + 24

Δ = 49


Y = [-b +/- √Δ]/2*a

Y = [ -(-5) +/- √49]/2*3

Y = [ 5 +/- 7]/6


Y' = ( 5 + 7)/6 ↔ 12/6 = 2

Y" = (5 - 7)/6 ↔ -2/6 = -1/3

Voltando na equação original:


Tinhamos que → Sec(x) = Y


Entao,

Sec(x) = 2

e

Sec(x) = -1/3       ↔ Substituindo Sec(x) por 1/Co(x) na primeira solução ficamos

1/Cos(x) = 2 

1 = 2Cos(x)   ÷ 2

Co(x) = 1/2, ou seja ↔  x = 60° ou π/3

Já na outra solução temos:

1/cos(x) = -1/3     Multiplicando em cruz:

3 = -cos(x)    ÷ -1

Cos(x) = -3.   

ora, temos que cos(x) e  Sen(x) assumem os valores no intervalo 
 -1 < x < 1

Portanto, y = -1/3 não satisfaz a condição.

 Logo, -3 é descartável!

S = { X ∈ R | π/3 + 2kπ, K∈ Z}