Question

Resolva a seguinte equação $\left[\begin{array}{ccc}2&3&-2\\0&1&x\\2&x&-3\end{array}\right] =2$ , determine o valor de x.

Answer 1

Resolução da questão, veja bem:

Os valores de x nessa equação são x = 2 ou x = 1.

Para resolvermos essa equação, vamos ter que calcular o determinante dessa matriz e o igualarmos a 2. Para calcularmos esse determinante, existem dezenas de métodos, dos quais escolherei o método de Chió. Esse método consiste em aplicarmos operações elementares em uma matriz, de forma a reduzir a sua ordem até n - 1 vezes.

Para iniciarmos a redução de ordem, temos que deixar o elemento pivô (1) na posição a₁₁ da nossa matriz. Para fazermos isso, vamos trocar a Linha 1 pela 2 e em seguida trocar a Coluna 2 pela 1 :

• Trocando a Linha 1 pela Linha 2 :

$\left[\begin{array}{ccc}\sf{2}&\sf{3}&\sf{-2}\\ \sf{0}&\sf{1}&\sf{x}\\\sf{2}&\sf{x}&\sf{-3}\end{array}\right] \to \left[\begin{array}{ccc}\sf{0}&\sf{1}&\sf{x}\\ \sf{2}&\sf{3}&\sf{-2}\\\sf{2}&\sf{x}&\sf{-3}\end{array}\right]$

• Trocando a Coluna 1 pela Coluna 2 :

$\left[\begin{array}{ccc}\sf{0}&\sf{1}&\sf{x}\\ \sf{2}&\sf{3}&\sf{-2}\\\sf{2}&\sf{x}&\sf{-3}\end{array}\right] \to \left[\begin{array}{ccc}\sf{1}&\sf{0}&\sf{x}\\ \sf{3}&\sf{2}&\sf{-2}\\\sf{x}&\sf{2}&\sf{-3}\end{array}\right]$

Agora vamos reduzir a ordem da seguinte matriz, a qual chamarei de A :

$\sf{A}=\sf{\left[\begin{array}{ccc}\underline{\sf{1}}&\sf{0}&\sf{x}\\ \sf{3}&\sf{2}&\sf{-2}\\\sf{x}&\sf{2}&\sf{-3}\end{array}\right]}=\sf{\left[\begin{array}{ccc}\sf{2-3\cdot 0}&\sf{-2-3\cdot x}\\\sf{2-x\cdot 0}&\sf{-3-x\cdot x}\end{array}\right]} \\ \\ \\ \sf{A}=\sf{\left[\begin{array}{ccc}\sf{2}&\sf{-2-3 x}\\\sf{2}&\sf{-3-x^2}\end{array}\right]}$

Com a Matriz A reduzida a uma ordem 2, podemos calcular o seu determinante de forma simples, veja bem:

$\sf{A}=\sf{\left[\begin{array}{ccc}\sf{2}&\sf{-2-3 x}\\\sf{2}&\sf{-3-x^2}\end{array}\right]}\\ \\ \\ \sf{Det(A)=-(-2-3x)\cdot 2+(-3-x^2)\cdot 2}\\ \\ \sf{2=4+6x-6-2x^2}\\ \\ \sf{-2x^2+6x-2-2=0}\\ \\ \sf{-2x^2+6x-4=0}\to~\sf{Divide\;tudo\;por\;-2}\\ \\ \sf{x^2-3x+2=0}$

Pronto, agora encontramos uma equação de segundo grau completa. Para encontrarmos o valor de x da matriz, basta que a resolvamos. Para isso, usaremos a equação de Bháskara:

$\sf{x^2-3x+2=0}\\ \\\\ \sf{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}~\to~\sf{x=\dfrac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot 1 \cdot 2}}{2\cdot 1}}\\ \\ \\ \sf{x=\dfrac{3\pm\sqrt{9-8}}{2}}\\ \\ \\ \sf{x=\dfrac{3\pm\sqrt{1}}{2}}~\to~\begin{cases} \sf{\red{x'=\dfrac{3+1}{2}=>x'=2}}\\ \\ \sf{\red{x''=\dfrac{3-1}{2}=>x''=1}}\end{cases}$

Ou seja, descobrimos que para que o Determinante da matriz A seja igual a 2, teremos que ter x = 2 ou x = 1.

Espero que te ajude!

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