Resolva a seguinte equação logarítmica em R:
log(x-9) + 2 * logV(2x-1) = 2
Soluções para a tarefa
Vamos lá.
Veja, Rodrigo, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Tem-se a seguinte equação logarítmica (na base 10):
log₁₀ (x-9) + 2*log₁₀ [√(2x-1)] = 2 ---- veja: vamos passar o "2" que está multiplicando o "log₁₀ [√(2x-1)] como expoente do logaritmando (é uma propriedade logarítmica). Fazendo isso, ficaremos assim:
log₁₀ (x-9) + log₁₀ [√(2x-1)]² = 2 ----- note que [√(2x-1)]² é igual a "2x-1" (o radical desaparece por estar ao quadrado). Assim, ficaremos com:
log₁₀ (x-9) + log₁₀ (2x-1) = 2 . (I)
Vamos deixar a expressão (I) "guardada" pois daqui a pouco iremos trabalhar com ela. Vamos agora para as condições de existência da expressão acima. Note que só há logaritmos de números POSITIVOS. Então vamos impor que os logaritmandos (x-9) e (2x-1) sejam, ambos, maiores do que zero (positivos). Então teremos isto:
x - 9 > 0
x > 9
e
2x - 1 > 0
2x > 1
x > 1/2 .
Agora veja: entre "x" ser maior do que "9" e maior do que "1/2" vai prevalecer a primeira hipótese, pois sendo "x" maior do que "9" já o será maior do que "1/2". Então iremos trabalhar com a única condição de existência da sua expressão, que será esta:
x > 9 ----- Esta será a única condição de existência da expressão (I), que deixamos "guardada" lá em cima.
ii) Agora, sim, como já temos a única condição de existência da expressão (I), então vamos trabalhar com ela, que é esta:
log₁₀ (x-9) + log₁₀ (2x-1) = 2 ---- vamos transformar a soma em produto (é uma propriedade logarítmica). Fazendo isso, teremos:
log₁₀ [(x-9)*(2x-1)] = 2 ---- agora vamos aplicar a definição de logaritmo, segundo a qual o que temos aqui é a mesma coisa que:
10² = (x-9)*(2x-1) ----- desenvolvendo, teremos:
100 = 2x² - 19x + 9 ----- passando "100" para o 2º membro, teremos:
0 = 2x² - 19x + 9 - 100 ----- reduzindo os termos semelhantes e invertendo-se a igualdade, teremos:
2x² - 19x - 91 = 0 ----- se você aplicar a fórmula de Bhaskara, vai ver que as duas raízes são estas:
x' = - 7/2 <--- raiz inválida, pois não atende à condição de existência.
x'' = 13 <--- raíz válida, pois atende à condição de existência.
Logo, ficando apenas com a raiz válida, temos que o conjunto-solução será:
x = 13 <-- Esta é a resposta.
Se quiser, poderá apresentar o conjunto-solução {x} da seguinte forma, o que dá no mesmo:
S = {13}.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.