Question

resolva a seguinte equação exponencial
${3}^{ \times } - {3}^{ \times + 2} - {3}^{ \times - 1} = 15$
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Answer 1

Seja $y = 3^x$. Temos então:

$\displaystyle{3^x -3^{x+2}-3^{x-1}=15}$

$\displaystyle{3^x -9\cdot3^{x}-\frac{3^{x}}{3}=15}$

$\displaystyle{y-9y-\frac{y}{3}=15}$

$\displaystyle{3y-27y-y=45}$

$\displaystyle{-25y=45}$

$\displaystyle{y=-\frac{45}{25}=-\frac{9}{5}}$

$\displaystyle{3^x = -\frac{9}{5}}$

No conjunto dos número reais não há solução para essa equação pois a função exponencial sempre é positiva.

Já no conjunto dos números complexos nós podemos obter uma solução usando a definição de logaritmo complexo:

Seja $z = r\cdot e^{i \theta}$ um complexo em forma polar. O logaritmo complexo desse número é da forma:

$\displaystyle{\text{Log }z = \ln(r)+i\theta }$

Vamos converter de base 3 para base e:

$\displaystyle{3^x = e^{x\ln{3}}=-\frac{9}{5}}$

O número $-\frac{9}{5}$ em forma polar complexa pode ser escrito como:

$\displaystyle{-\frac{9}{5}=\frac{9}{5}e^{i\pi}}$

Isso porque todo real negativo possui $\theta = \pi$ e o valor de $r$ é justamente módulo do número real.

Com isso temos a equação:

$\displaystyle{e^{x\ln(3)}=\frac{9}{5}e^{i\pi}}$

Usando a definição do logaritmo complexo obtemos:

$\displaystyle{x\ln(3)=\ln\left(\frac{9}{5}\right)+i\pi}$

$\displaystyle{x=\frac{\ln(9)-\ln(5)+i\pi}{\ln(3)}}$

Essa é a solução principal da equação no conjunto dos números complexos. Existem infinitas soluções, mas a principal já basta.