Question

Resolva a seguinte equação exponencial :

$2^x+2^{x+3}-2^{x-1}=34$

OBS : Quero a resolução passo a passo, desde já, obrigado

Answer 1

Após resolver a equação exponencial dada, obtém-se x = 2.

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Inicialmente, veja que é possível colocar o fator comum “2ˣ” em evidência, de modo que:

$\sf 2^x+2^{x\,+\,3}-2^{x\,-\,1}=34$

$\sf 2^x\big(1+2^3-2^{-1}\big)=34$

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Basta lembrar que $\sf a^b\cdot a^c=a^{b\,+\,c}$ (o produto entre potências de bases iguais é igual a base elevada a soma dos expoentes).

Prosseguindo, segue que:

$\sf 2^x\bigg(1+8-\dfrac{1}{2}\bigg)=34$

$\sf 2^x\bigg(9-\dfrac{1}{2}\bigg)=34$

$\sf 2^x\bigg(\dfrac{9\cdot2-1}{2}\bigg)=34$

$\sf 2^x\bigg(\dfrac{18-1}{2}\bigg)=34$

$\sf 2^x\bigg(\dfrac{17}{2}\bigg)=34$

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Ao passar 17/2 pro outro membro a multiplicar, inverta a fração:

$\sf 2^x=\dfrac{2}{17}\cdot34$ ⠀➞⠀simplifique.

$\sf 2^x=2\cdot2$

$\sf 2^x=2^2$

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Como há uma igualdade na qual as bases das potências são iguais, podemos igualar os expoentes, pois se $\sf a^b=a^c$, com 0 < a ≠ 1, então b = c:

$\sf x=2~~~\longleftarrow~~~valor~de~x~encontrado.$

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Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.

Answer 2

O valor de X nessa equação é 2

• Mas, como chegamos nessa reposta?

Temos uma equação exponencial, existem vários métodos de resolver esse problema vou usar 2 métodos

Para resolver essa equação precisamos saber algumas propriedades da potencia

Propriedades

$X^{A+B}\Rightarrow X^{A}\times X^{B}$

$X^{A-B}\Rightarrow \dfrac{X^{A} }{X^{B} }$

Vamos a questão

$2^{X} + 2^{X+3}- 2^{X-1}=34$

Método da substituição

Primeiro simplificamos a expressão usando as propriedades acima, usando a propriedade   $X^{A+B}\Rightarrow X^{A}\times X^{B}$

$2^{X} + 2^{X+3}- 2^{X-1}=34 \Rightarrow \boxed { 2^{X} + 2^X \times 2^3- 2^{X-1}=34}$

depois  simplificamos a expressão usando as propriedades acima, usando a propriedade  $X^{A-B}\Rightarrow \dfrac{X^{A} }{X^{B} }$

$2^{X} + 2^X \times 2^3- 2^{X-1}=34 \Rightarrow \boxed{2^{X} + 2^X \times 2^3- \dfrac{2^X}{2^{1} } =34}$

Agora que ja simplificamos a equação substituirmos o termo em comum no caso $2^X$ por Y

 

$2^{X} + 2^X \times 2^3- \dfrac{2^X}{2^{1} } =34 \Rightarrow \boxed{Y+ Y \times 8- \dfrac{Y}{2 } =34}$

Agora fazermos as operações básicas com os termos em comum

$Y+ Y \times 8- \dfrac{Y}{2 } =34 \Rightarrow Y+ 8Y- \dfrac{Y}{2 } =34 \Rightarrow \boxed{9Y- \dfrac{Y}{2 } =34 }$

Perceba que agora, temos um equação onde  possuirmos um número no denominador no caso o 2, precisamos eliminar esse 2 para isso multiplicamos a equação inteira por 2 para não invalidar a igualdade e assim eliminar o denominador

$9Y- \dfrac{Y}{2 } =34 \Rightarrow (9Y\times 2)- (\dfrac{Y\times2}{2 })=(34\times 2) \Rightarrow \boxed{18Y-Y=68}$

agora possuirmos uma equação simples de primeiro grau basta resolve-la

$18Y-Y=68\Rightarrow 17Y=68 \Rightarrow Y=68/17 \Rightarrow \boxed{Y=4}$

achamos que Y é igual a 4 porem não é oque queremos pois lembre que Y é igual a $2^X$  Basta substituirmos

$Y=4\\\\2^X=4\\\\2^X=2^2\\\\\boxed{X=2}$

achamos que X é igual a 2

Outro método para fazer essa questão é pelo método da evidencia onde colocamos um valor em evidencia

Vamos a questão

$2^{X} + 2^{X+3}- 2^{X-1}=34$

Repetiremos o mesmo passos da solução anterior, usando as propriedades

$X^{A+B}\Rightarrow X^{A}\times X^{B}$   ,     $X^{A-B}\Rightarrow \dfrac{X^{A} }{X^{B} }$

$2^{X} + 2^{X+3}- 2^{X-1}=34\Rightarrow \boxed{2^{X} + 2^X \times 2^3- \dfrac{2^X}{2^{1} } =34}$

Perceba que o termo $2^X$ se repete muito, por isso podemos o por em evidencia para facilitar os calculos

$2^{X} + 2^X \times 2^3- \dfrac{2^X}{2^{1} } =34 \Rightarrow \boxed{2^X(1+2^3-\dfrac{1}{2^1}) =34}$

ficamos com a seguinte expressão:

$2^X(1+2^3-\dfrac{1}{2} )=34$      

primeiro resolvemos quem está no parênteses ( lembre que 1/2 é igual a 0,5)

$2^X(1+2^3-\dfrac{1}{2} )=34 \Rightarrow 2^X(1+8+0,5 )=34 \Rightarrow \boxed{ 2^X( 8,5)=34}$

agora passamos o 8,5 que está multiplicando dividindo pelo outro lado da igualdade

$2^X\times 8,5=34 \Rightarrow 2^X=34/8,5 \Rightarrow \boxed{2^X=4}$

Agora basta simplificarmos a expressão

$2^X=4\\\\2^X=2^2\\\\\boxed{X=2}$