Question

resolva a seguinte equação exponencial 25^x+125/6=5^x+1

Answer 1

[ ( 25)^x   + 125 ]/6  = ( 5 )^x +1

fazendo um por um

(25 )^x  = ( 5²)^x    ou   ( 5^x)²

125 = 5³

( 5 )^x + 1  =  ( 5 )^x  *   ( 5 )¹

reescrevendo

[ ( 5^x)² +  125 ]/6 = [ ( 5^x ) * 5¹ ]

fazendo 5^x  = y   temos

y² + 125 )/6 = ( y  * 5 ]/1

( y² + 125 )/6 = 5y/1

multiplica em cruz

1 ( y² + 125 )  = 6 * 5y

y² + 125 = 30y

y² - 30y + 125 = 0

delta = (-30 )² - [ 4 * 1 * 125 ] = 900 - 500 = +-V400 = +-20 ****

y = ( 30 +-20)/2

y1 = 50/2 = 25  = 5² ***

y2 = 10/2 = 5 = 5¹ ***

Como 5^x = y   temos  >>>>  5^x =   5^2 logo >>>>>  x = 2 ***** resposta

e 5^x  = 5¹  logo >>>>>>  x = 1 ***** resposta

Answer 2

Temos a seguinte situação: (25ˣ + 125)/6 = 5ˣ ⁺ ¹, multiplicando ambos os lados por 6, fica 25ˣ + 125 = 6.5ˣ ⁺ ¹ => (5²)ˣ + 125 = 6.5.5ˣ => 5²ˣ + 125 = 30.5ˣ => 5²ˣ - 30.5ˣ + 125 = 0. Fazendo 5ˣ = y , temos, y² - 30y + 125 = 0, onde

a = 1, b = -30 e c = 125

Δ = b² - 4ac

Δ = (-30)² - 4.1.125

Δ = 900 - 500

Δ = 400

y = (-b + - √Δ)/2.a

y = (-(-30) + - √400)/2.1

y' = (30 + 20)/2 = 50/2 = 25

y" = (30 - 20)/2 = 10/2 = 5

5ˣ = y => 5ˣ = y' => 5ˣ = 25 => 5ˣ = 5² => x = 2

5ˣ = y" => 5ˣ = 5 => x = 1. Logo S = {1, 2}