Question

Resolva a seguinte desigualdade: \frac{1}{|x+1|.|x-3|} \geq \frac{1}{5}

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Dani, que esta questão NÃO é das mais simples, embora possa parecer a uma primeira vista.
Mas vamos tentar resolver tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se a seguinte inequação modular:

1/[|x+1|*|x-3|] ≥ 1/5 --- note que já poderemos multiplicar os módulos, o que dará no mesmo, com o que ficaremos assim:

1/|x²-2x-3| ≥ 1/5

Agora note: quando se trabalha com inequações modulares e tem-se isto:

|x| ≥ a -----> implica em que: -a ≤ x ≥ a.

ii) Então vamos aplicar essa "implicação", com o que a expressão acima será  equivalente a:

- 1/5 ≤ 1/(x²-2x-3) ≥ 1/5

Antes de mais nada veja que "x'' NUNCA poderá ser igual a "-1" nem igual a "3", pois "-1" e "3" são raízes da expressão do denominador. E, como você sabe, toda raiz zera a equação da qual é raiz. Logo, já deveremos, a partir de agora, impor as restrições de que x ≠ -1 e x ≠ 3, pois se "x" pudesse ser igual a "-1" ou igual a "3" (que são as raízes da equação) iríamos ter um denominador igual a zero e não existe divisão por zero, ok?

iii) Vamos trabalhar com a primeira hipótese, que é esta:

1/(x²-2x-3) ≥ 1/5 ---- multiplicando-se em cruz teremos (veja que poderemos multiplicar em cruz, pois já estamos impondo que x≠-1 e x≠3. Então, ao fazer isso estamos tendo certeza de que não estamos multiplicando por zero). Então vamos multiplicar em cruz, com o que ficaremos:

5*1 ≥ (x²-2x-3)*1 ----- desenvolvendo, teremos:
5 ≥ x²-2x-3 ---- ou, invertendo, o que dá no mesmo:
x²-2x-3 ≤ 5 ---- passando "5" para o 1º membro, teremos:
x²-2x-3-5 ≤ 0 -- ou apenas:
x² - 2x - 8 ≤ 0

Agora vamos encontrar as raízes da inequação acima e, depois, vamos estudar a variação de sinais em função de suas raízes. Se você aplicar Bháskara vai ver que as raízes da inequação acima são: x' = -2 e x'' = 4. Assim teremos, ao estudar a variação de sinais:

x²-2x-8 ≤ 0 ... + + + + + + + (-2) - - - - - - - - - - - - (4) + + + + + + + + + + +

Como queremos que a inequação dada seja MENOR ou IGUAL a zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de MENOS (ou igual a zero) no gráfico acima. Assim teremos que:

-2 ≤ x ≤ 4 ----- este seria, em princípio, o intervalo válido para a inequação acima. Considerando, contudo, que "x "  não poderá assumir valores iguais a -1" e a "3" (que são as raízes da inequação original), então esse intervalo ficará sendo assim:

-2 ≤ x < -1, ou: -1 < x < 3, ou: 3 < x ≤ 4.

iv) Agora vamos trabalhar com a outra hipótese, que é esta:

- 1/5 ≤ 1/(x²-2x-3) ---- multiplicando-se em cruz teremos (veja que, pela mesma razão já invocada no item anterior, poderemos multiplicar em cruz pois já fizemos a ressalva de que x≠-1 e x≠3):

-1*(x²-2x-3) ≤ 1*5 ---- desenvolvendo os dois membros, iremos ficar com:
-x²+2x+3 ≤ 5 ----- passando '5" para o 1º membro, ficaremos:
-x²+2x+3-5 ≤ 0 ---- ou apenas:
-x²+2x-2 ≤ 0 ---- agora note: se você for aplicar Bháskara nesta inequação para encontrar as suas raízes, vai notar que o seu delta é negativo (menor do que zero) e, como tal não existirão raízes no âmbito dos números reais. E quando uma equação não tem raízes no âmbito dos reais essa equação SEMPRE terá o mesmo valor do termo "a" (o termo "a" é o coeficiente de x²). E, como no caso, o termo "a" desta inequação é negativo, então esta inequação SEMPRE será negativa para todo e qualquer valor real de "x".

v) Então vamos fazer o seguinte: vamos colocar o que vale para cada uma das hipóteses com o símbolo /////////// . A resposta será a intersecção entre o que vale para cada uma das duas hipóteses. E a intersecção marcaremos com o símbolo ||||||||.
Então vamos fazer isto:

1ª hipótese (x²-2x-8 ≤ 0) ..______(-2)/ / / / / / / / / / / / / (4)___________
2ª hipótese (-x²+2x-2 ≤ 0)../ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /
Intersecção:....................._______(-2) | | | | | | | | | | | | | | | (4) ___________

Veja que a intersecção ficou entre "-2" e "4". Mas lembre-se que entre (-2) e (4) há as raízes da inequação original (que são "-1" e "3") e que "x" jamais poderá assumir esses dois valores (lembra?). Assim, o conjunto-solução será aquele já encontrado para a primeira hipótese e que é este:

-2 ≤ x < -1, ou: -1 < x < 3, ou: 3 < x ≤ 4  ---- Esta é a resposta.

Se você quiser também poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma o que dá no mesmo:

S = [-2; -1) ∪ (-1; 3) ∪ (3; 4].

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.