Question

Resolva a seguinte derivada: y= (Ln x + x)⁴​

Answer 1

Resposta:

4(Ln x + x)³.(Ln+1)

Explicação passo-a-passo:

Answer 2

Depois de aplicamos as propriedades da derivada chegamos a  conclusão que a derivada da função dada é

$\boxed{\Large4(Ln(x)+x)^3\cdot\left(\dfrac{1}{x} +1\right)}}$

• Mas, como chegamos nessa conclusão?

Temos que encontrar a seguinte derivada

$\Large\dfrac{dy}{dx}(Ln(x)+x)^4$

Antes de começarmos a derivar é bom relembrar algumas derivadas conhecidas

• Derivada do Ln(x)

     $\Large\dfrac{dy}{dx}(Ln(x))= \dfrac{1}{x}$

• Derivada do X

      $\Large\dfrac{dy}{dx}(X)= 1$

• Derivada da potência :

      $\Large\dfrac{dy}{dx}(X^N)= N\cdot X^{N-1}$

Com isso em mente vamos derivar

$\Large\dfrac{dy}{dx}(Ln(x)+x)^4$

Perceba que para achar essa derivada é bem difícil pois ela  não é parecida com nenhuma derivada que nos conhecemos. Mas, e se no  lugar de $(Ln(x)+4)$ fosse só X? ia ficar bem mais fácil né? nos podemos fazer isso com a REGRA DA CADEIA

• A regra da cadeia é um técnica  para achar a derivada de um função composta

• Definição matemática  :

         $\boxed{\boxed{\Large\dfrac{dy}{dx} =\dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} }}$

• Vamos chama uma parte da função de U de modo que facilite a nossa derivação e depois de derivamos multiplicamos o resultado com o termo que chamamos de U

$\Large(Ln(x)+x)=U$

Vamos derivar

$\Large\dfrac{dy}{dx}(Ln(x)+x)^4 \\\\\\\\\Large\dfrac{dy}{du}(U)^4 \cdot \dfrac{du}{dx}(Ln(x)+x) \\\\\\\\\boxed{\Large4U^3\cdot\left(\dfrac{1}{x} +1\right)}$

Agora podemos chamar o U de volta pra $(Ln(x)+x)$

$\Large4U^3\cdot\left(\dfrac{1}{x} +1\right)}\\\\\\\\\boxed{\Large4(Ln(x)+x)^3\cdot\left(\dfrac{1}{x} +1\right)}}$

Essa é a nossa derivada, podemos deixar assim pois é forma mais simplificada da expressão

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