Question

Resolva a questão a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
Calcule a integral da função:
$f(x) = e^x+5+\sqrt{x}$
I)$e^x+5x+\frac{2}{3} x^\frac{3}{2}$ (CERTA)
II)$e^2^x+5+\frac{2}{3} x^3$
III)$1+5x+\frac{3}{2} x^\frac{1}{2}$
IV)$e^x+\frac{2}{3} x^\frac{3}{2}$

Answer 1

Resposta: opção I é a correta.

A integral de uma função p(x) é igual a uma função P(x) + C, onde P(x) é sua primitiva e C representa uma constante. Assim, pode-se dizer que P'(x) = p(x), então ∫p(x) = P(x) (a integral nada mais é que o inverso da derivada).

Agora integrando da função f, aplique as regras e propriedades (veja as que usei no fim da resposta):

$\displaystyle\int f(x)dx~\Rightarrow~\displaystyle\int e^x+5+\sqrt{x}\,dx$

$=~~\displaystyle\int e^xdx+\displaystyle\int5\,dx+\displaystyle\int\sqrt{x}\,dx$

$=~~\displaystyle\int e^xdx+\displaystyle\int5\,dx+\displaystyle\int x^{\frac{1}{2}}\,dx$

$=~~e^x+c_1+5x+c_2+\dfrac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}+c_3$

$=~~e^x+5x+\dfrac{x^{\frac{1}{2}+\frac{2}{2}}}{\frac{1}{2}+\frac{2}{2}}+C$

$=~~e^x+5x+\dfrac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C$

$=~~e^x+5x+x^{\frac{3}{2}}\cdot\dfrac{2}{3}+C$

$=~~\!\boxed{e^x+5x+\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+C}$

Obs.: a integral de eˣ é ele mesmo, pois (eˣ)' = eˣ. A integral de 5 é 5x, pois (5x)' = 5 (derivada do monômio de grau 1 é igual ao seu coeficiente). Na integral da potência foi aplicado a regra da potência, citada abaixo.

Propriedade e regra usadas:

$\displaystyle\int p(x)+q(x)\,dx=\displaystyle\int p(x)\,dx+\displaystyle\int q(x)\,dx$

(A integral de uma soma é igual a soma das integrais de cada parcela).

$\displaystyle\int x^k\,dx=\dfrac{x^{k+1}}{k+1}+C$

(A integral de uma potência é ela aumentada de uma unidade no expoente dividida pelo valor do expoente, também aumentado de uma unidade).

Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.