Question

resolva a questao a seguir:​

Answer 1

Resposta:

Pelo Teorema de Laplace, podemos escolher uma fila (linha ou coluna) qualquer. Assim , o determinante será a soma entre cada elemento multiplicado pelo seu cofator.

A matriz da questão é:

$A= \begin{pmatrix}1&3&4&5\\ 2&1&3&3\\ 0&0&0&3\\ 4&2&6&0\end{pmatrix}$

Escolhemos, para facilitar, a linha com mais zeros, ou seja, a 3ª linha (0 0 0 3).

Lembre-se, o cofator é representado por $C_{L,C}$, onde L é a posição da linha e C a posição da coluna.

Assim, temos:

$A=\begin{pmatrix}1&3&4&5\\ 2&1&3&3\\ 0&0&0&3\\ 4&2&6&0\end{pmatrix}= 0*C_{3,1} + 0*C_{3,2} + 0*C_{3,3} + 3*C_{3,4}$

$A=\begin{pmatrix}1&3&4&5\\ 2&1&3&3\\ 0&0&0&3\\ 4&2&6&0\end{pmatrix}= 3*C_{3,4}$

Pela definição de cofatores, $C_{L,C} = (-1)^{L+C} * Det_{L,C}$.   Logo,

$C_{3,4} = (-1)^{3+4} * Det_{3,4}\\C_{3,4} = (-1)^{7} * Det_{3,4}\\\\C_{3,4} = - Det_{3,4}$

Calculando, pela Regra de Sarrus, o determinante de $Det_{3,4}$:

$Det_{3,4}=\begin{pmatrix}1&3&4&-\\ 2&1&3&-\\ -&-&-&-\\ 4&2&6&-\end{pmatrix}= 3*C_{3,4}\\\\\\Det_{3,4}=\left[\begin{array}{ccc}1&3&4\\2&1&3\\4&2&6\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}1&3\\2&1\\4&2\end{array}\right]\\\\Det_{3,4} = (1*1*6)+(3*3*4)+(4*2*2)-(4*1*4)-(1*3*2)-(3*2*6)\\Det_{3,4} = 6+36+16-16-6-36\\Det_{3,4} = 0$

Logo, $C_{3,4} = 0$.

Portanto:

$det (A) = 3*C_{3,4}\\det (A) = 3*0\\det (A) = 0$

Assim, o determinante da matriz (A) é 0.