Question

Resolva
a) log4 x+log4 (x+3)=1
b) log (x-3) + log x= 1
c) log6 (x-1)² - log6 (x-1) = 0

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Gilmel, que a resolução é simples.
Pede-se para resolver as seguintes expressões logarítmicas:

a) log₄ (x) + log₄ (x+3) = 1

Antes vamos ver quais são as condições de existência: como só existe logaritmo de números positivos, então deveremos impor que os logarimandos deverão ser positivos (>0). Assim:

x > 0
e
x+3 > 0
x > -3 .

Agora veja: entre "x" ser maior do que "-3" e ser maior do que "0", vai prevalecer "x" ser maior do que "0", pois sendo "x" maior do que "0" já o será maior do que "-3".

bem, como já vimos qual a condição de existência, então vamos trabalhar com a expressão dada, que é esta:

log₄ (x) + log₄ (x+3) = 1 ---- como as bases são iguais, então poderemos transformar esta soma em produto, ficando:

log₄ (x*(x+3)) = 1
log₄ (x²+3x) = 1 ----- aplicando a definição de logaritmo, teremos:
4¹ = x²+3x ----- ou apenas:
4 = x² + 3x --- ou, o que é a mesma coisa:
x² + 3x = 4 ---- passando "4" para o 1º membro, temos;
x² + 3x - 4 = 0 ----- se você aplicar Bháskara, vai encontrar as seguintes raízes:

x' = - 4
x'' = 1

Mas note: conforme as condições de existência, "x" terá que ser maior do que zero (lembra?) . Então descartamos a raiz x = - 4 e ficamos apenas com a raiz x = 1. Assim:

x = 1 <--- Esta é a resposta para a questão do item "a".
 
b) log₁₀ (x-3) + log₁₀ (x) = 1

Vamos para as condições de existência. Como só existe logaritmo de números positivos (>0) então vamos impor que os logaritmandos (x-3) e (x) sejam positivos. Assim:

x - 3 > 0
x > 3
e
x > 0

Veja: entre "x" ser maior do que zero e maior do que "3", vai prevalecer "x" maior do que "3", pois sendo "x" maior do que "3" já o será maior do que zero.
Então a condição de existência será para: x > 3.
Agora vamos trabalhar com a expressão da questão do item "b", que é esta:

log₁₀ (x-3) + log₁₀ (x) = 1 ---- como a base é a mesma, então poderemos transformar esta soma em produto, ficando assim:

log₁₀ (x-3)*x) = 1
log₁₀ (x²-3x) = 1 ------ aplicando a definição de logaritmo, teremos:
10¹ = x²-3x ---- ou, o que é a mesma coisa:
x² - 3x = 10 ---- passando "10" para o 1º membro, temos;
x² - 3x - 10 = 0 ---- se você aplicar Bháskara, vai encontrar as seguintes raízes:

x' = - 2
x'' = 5

Mas conforme as condições de existência, "x" deverá ser maior do que "3" (lembra?). Então descartaremos a raiz x = - 2 e ficaremos apenas com a outra raiz, que é:

x = 5 <--- Esta é a resposta para a questão do item "b".

c) log₆ (x-1)² - log₆ (x-1) = 0

Vamos para as condições de existência. Como só há logaritmo de números positivos, então vamos impor que os logaritmandos acima sejam positivos.
Assim, deveremos ter que:

(x-1)² > 0
x-1 > √(0)
x-1 > 0
x > 1

e como o outro logaritmando é (x-1) então se formos impor a condição de maior do que zero, também iríamos encontrar a mesma condição: x > 1.
Assim, a condição de existência da expressão logarítmica do item "c" é x > 1.

Agora vamos trabalhar com a expressão dada, que é esta:

log₆ (x-1)² - log₆ (x-1) = 0  ---- como a base é a mesma, então poderemos transformar esta subtração em divisão, ficando assim:

log₆ (x-1)²/(x-1)) = 0 ---- aplicando a definição de logaritmo, teremos isto:

6⁰ = (x-1)²/(x-1) ----- como 6⁰ = 1, teremos:
1 = (x-1)²/(x-1) ----- veja: como já impomos as condições de existência, então vamos poder multiplicar em cruz, com o que ficaremos assim:

(x-1)*1 = (x-1)²
(x-1) = (x-1)² ----- desenvolvendo, teremos:
x - 1 = x² - 2x + 1 ---- passando toda o 1º membro para o 2º, teremos:
0 = x² - 2x + 1 - x + 1 ---- reduzindo os termos semelhantes e invertendo:
x² - 3x + 2 = 0  ----- se você aplicar Bháskara, vai encontrar as seguintes raízes:

x' = 1
x'' = 2

Como já vimos lá nas condições de existência que "x" deverá ser maior do que "1", então descartaremos a raiz x = 1 e ficaremos apenas com a outra (x = 2). Assim:

x = 2 <--- Esta é a resposta para a questão do item "c".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.