Question

RESOLVA A LETRA B POR FAVOR.

Answer 1

Condições para uma função ser continua em x = a:

$\boxed{\boxed{f(a)~existe}}\\\\\\\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow a}~f(x)~existe}}\\\\\\\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow a}~f(x)=f(a)}}$
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$f(x)=|x^{2}-1|=\begin{cases}x^{2}+1,~~~~~~~se~x^{2}+1\ge0\\-(x^{2}+1),~~se~x^{2}+1~\textless~0\end{cases}$

Primeiramente, vamos estudar o sinal de x² - 1

x² - 1 é uma parábola com raízes -1 e 1. Essa parábola possui concavidade para cima (pois a segunda derivada é positiva para qualquer x pertencente ao conjunto dos reais), então, essa função retorna valores negativos entre as raízes e positivo no resto de seu domínio (R)

Portanto:

$f(x)\ge0~~~se~x\le-1~ou~x\ge1\\f(x)\ \textless \ 0~se~-1~\textless~x~\textless~1$

Então, vamos escrever f(x) sendo

$f(x)=|x^{2}-1|=\begin{cases}x^{2}+1,~~~~~~~~se~x\le-1~ou~x\ge1\\-(x^{2}+1),~~~se~-1~\textless~x~\textless~1\end{cases}$
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Mostrando que f(x) é contínua em x = - 1

Primeira condição:

$f(-1)=|(-1)^{2}-1|=|1-1|=|0|=0~~~~~logo,~f(-1)~existe$

Avaliando os limites laterais de f quando x tende a -1:

$\lim\limits_{x\rightarrow-1^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow-1^{-}}(x^{2}-1)=(-1)^{2}-1=0\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow-1^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow-1^{+}}-(x^{2}+1)=-([-1]^{2}-1)=0$

Portanto, o limite de f(x) quando x tende a -1 existe

Como esse limite é igual a f(-1), a função é contínua em x = -1.
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Mostrando que f(x) é contínua em x = 1:

f(1) = 1² - 1 = 0, logo, f(1) existe

Avaliando os limites laterais:

$\lim\limits_{x\rightarrow1^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow1^{-}}-(x^{2}+1)=-(1^{2}-1)=0\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow1^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow1^{+}}(x^{2}+1)=1^{2}-1=0\\\\\\~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow1}f(x)=0}}$

O limite de f(x) quando x tende a 1 existe e é igual a f(1), portanto, a função é contínua em x = 1