Question

resolva a integral ∫x²+x+2÷ x³-x dx

Answer 1

$I=\displaystyle\int\dfrac{x^2+x+2}{x^3-x}\,dx$


Temos uma função racional no integrando, onde o grau do numerador já é menor que o grau do denominador. Logo, aplica-se aqui o método da decomposição em frações parciais.

$f(x)=\dfrac{x^2+x+2}{x^3-x}\\\\\\ f(x)=\dfrac{x^2+x+2}{x\,(x^2-1)}\\\\\\ f(x)=\dfrac{x^2+x+2}{x\,(x+1)\,(x-1)}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x+1}+\dfrac{C}{x-1}$


onde $A,$ $B$ e $C$ são constantes a determinar.


Multiplicando os dois lados por $x\,(x+1)\,(x-1),$ ficamos com

$x^2+x+2=A\,(x+1)\,(x-1)+Bx\,(x-1)+Cx\,(x+1)~~~~~~\mathbf{(i)}$


O truque aqui é substituir os polos da função (raízes do denominador) na expressão $\mathbf{(i)}$ acima.


$\bullet\;\;$ Para $x=0:$

$2=A\cdot 1\cdot (-1)\\\\ 2=-A\\\\ \boxed{\begin{array}{c}A=-2 \end{array}}$


$\bullet\;\;$ Para $x=-1:$

$(-1)^2+(-1)+2=B\cdot (-1)\cdot (-1-1)\\\\ 1-1+2=B\cdot (-1)\cdot (-2)\\\\ 2=2B\\\\ \boxed{\begin{array}{c}B=1 \end{array}}$


$\bullet\;\;$ Para $x=1:$

$1^2+1+2=C\cdot 1\cdot (1+1)\\\\ 1+1+2=C\cdot 1\cdot 2\\\\ 4=2C\\\\ \boxed{\begin{array}{c}C=2 \end{array}}$


Então a função a ser integrada pode ser reescrita como

$f(x)=-\,\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{2}{x-1}$

_____________

Então a nossa integral fica

$I=\displaystyle\int\dfrac{x^2+x+2}{x^3-x}\,dx\\\\\\ =\int\!\left(-\,\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{2}{x-1} \right )dx\\\\\\ =-2\,\mathrm{\ell n\,}|x|+\mathrm{\ell n\,}|x+1|+2\,\mathrm{\ell n\,}|x-1|+C$


Bons estudos! :-)