Question

Resolva a integral:

$\large \displaystyle\int \sf x² \: cos (5x) dx$
​

Answer 1

• O valor dessa integral é x² sen(5x) / 5 + 2xcos(5x)/25 - 2/125 sen (5x) + c.

Para resolver sua questão, irei utilizar o método de integração por partes. Dado por:

$\boxed{\orange{ \displaystyle\int u dv = u v - \displaystyle\int v du}}$

Onde, para descobrirmos o u, temos que utilizar o LIATE. Dado por:

L = Logaritmo

I = Inv. Trigonométrica

A = Aritmética

T = Trigonométrica

E = Exponencial

• Já o resto:

du = Derivada do u

dv = Oq restar depois que escolhermos o u

v = integral do dv

• Portanto:

u = x²

du = 2x dx

dv = cos(5x) dx

v = sen(5x)/5

• Logo:

$\displaystyle\int x^2 cos (5x) dx = \dfrac{x^2 sen (5x) }{ 5 } - \dfrac{ 2}{5}\displaystyle\int x sen (5x) dx$

Perceba que temos uma parte da resposta já pronta, agora, basta resolvermos aquela integral. Logo:

u = x

du = dx

dv = sen(5x) dx

v = -cos(5x) / 5

• Aplicando na fórmula, temos que:

$\displaystyle\int x^2 cos (5x) dx = \dfrac{x^2 sen (5x) }{ 5 } - \dfrac{ 2}{5} \left[ \dfrac{-x cos (5x) }{5} + \dfrac{1}{5}\displaystyle\int cos (5x) dx \right]$

$\boxed{ \boxed{\green{\bf \displaystyle\int x^2 cos (5x) dx = \dfrac{ x^2 sen (5x) }{5} + \dfrac{ 2x cos (5x) }{ 25 } - \dfrac{2}{125} sen (5x) + c }}}$

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