Question

Resolva a integral $\int\limits^1_0 {(12 x^{2}+8x+3)(4x^{3}+4x^{2}+3x+5) ^{3} } \, dx$
resolução da integral pela técnica da integração por substituição
aplicação do TFC
resultado com o nr na forma fracionada

Answer 1

$\displaystyle\int_0^1 (12x^2+8x+3)(4x^3+4x^2+3x+5)^3\,dx\\\\\\ =\int_0^1 (4x^3+4x^2+3x+5)^3\cdot (12x^2+8x+3)\,dx$


Fazendo a substituição

$4x^3+4x^2+3x+5=u~~\Rightarrow~~(12x^2+8x+3)\,dx=du$


Mudando os limites de integração:

$\text{Quando }x=0~~\Rightarrow~~u=5\\\\ \text{Quando }x=1~~\Rightarrow~~u=16$


Substituindo, a integral fica

$=\displaystyle\int_5^{16} u^3\,du\\\\\\ =\left.\left(\dfrac{u^{3+1}}{3+1} \right )\right|_5^{16}\\\\\\ =\left.\left(\dfrac{u^{4}}{4} \right )\right|_5^{16}\\\\\\ =\dfrac{16^{4}}{4}-\dfrac{5^{4}}{4}\\\\\\ =\dfrac{65\,536}{4}-\dfrac{625}{4}\\\\\\ =\dfrac{65\,536-625}{4}\\\\\\ =\dfrac{64\,911}{4}$