Question

resolva a integral seguir.​

Answer 1

Temos a seguinte integral:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \int \frac{ \sqrt{x} + 3 \sqrt{x} }{x} \: dx$

Para resolver esta integral, podemos fazer a soma dos elementos do numerador e utilizar alguma regras de potência.

$\int \frac{ \sqrt{x} + 3 \sqrt{x} }{x} dx \: \: \to \: \: \int \frac{4 \sqrt{x} }{x} \: dx\\ \\ 4. \int \frac{ \sqrt{x} }{x} dx \: \: \to \: \: 4. \int \frac{ {x}^{ \frac{1}{2} } }{x} \: dx \\ \\ 4. \int x {}^{ \frac{1}{2} - 1 } dx \: \: \to \: \: 4. \frac{x {}^{ - \frac{1}{2} +1} }{ - \frac{1}{2} + 1} + k \\ \\ 4. \frac{x {}^{ - \frac{1}{2} + 1} }{ \frac{1}{2} } + k \: \: \to \: \: \boxed{8.x {}^{ \frac{1}{2} } + k}$

Espero ter ajudado

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a integral indefinida - antiderivada ou primitiva - procurada é:

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \int \Bigg(\frac{\sqrt{x} + 3\sqrt{x}}{x}\Bigg)\,dx= 8\sqrt{x} + c\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a integral dada:

          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt \int \Bigg(\frac{\sqrt{x} + 3\sqrt{x}}{x}\Bigg)\, dx\end{gathered} }$

Inicialmente já percebemos que a referida integral é uma integral indefinida. Para resolver esta questão devemos calcular a primitiva da referida função. Então, temos:

  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt \int \Bigg(\frac{\sqrt{x} + 3\sqrt{x}}{x}\Bigg)\,dx = \int \Bigg(\frac{4\sqrt{x}}{x}\Bigg)\,dx\end{gathered} }$

                                               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = 4\cdot\int \frac{\sqrt{x}}{x}\,dx\end{gathered} }$

                                               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = 4\cdot\int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x}\,dx\end{gathered} }$

                                               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = 4\cdot\int x^{\frac{1}{2} - 1}\,dx\end{gathered} }$

                                               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = 4\cdot \int x^{-\frac{1}{2}}\,dx\end{gathered} }$

                                               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = 4\cdot\frac{x^{-\frac{1}{2} + 1}}{-\frac{1}{2} + 1} + c\end{gathered} }$

                                               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = 4\cdot\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + c\end{gathered} }$

                                               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = 4\cdot\frac{2}{1}\cdot x^{\frac{1}{2}} + c\end{gathered} }$

                                               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = 8x^{\frac{1}{2}} + c\end{gathered} }$

                                               $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = 8\sqrt{x} + c\end{gathered}$

Portanto, a integral indefinida procurada é:

   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt \int \Bigg(\frac{\sqrt{x} + 3\sqrt{x}}{x}\Bigg)\,dx= 8\sqrt{x} + c\end{gathered} }$

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Resolução gráfica (figura):