Question

Resolva a integral por substituição. ALGUÉM PODERIA ME AJUDAR?

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\dfrac{2\sqrt{x^3+3x}}{3}+C,~C\in\mathbb{R}}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Devemos resolver a seguinte integral por substituição $\displaystyle{\int \dfrac{x^2+1}{\sqrt{x^3+3x}}\,dx$

Seja $u=x^3+3x$. Diferenciamos ambos os lados da expressão para encontrarmos o diferencial $du$:

$u'=(x^3+3x)'$

Esta é uma derivada implícita, lembre-se que:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções, ou seja: $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada do produto é dada pela regra do produto: $(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.

Aplique a regra da soma

$\dfrac{du}{dx}=(x^3)'+(3x)'$

Aplique a regra da potência, do produto e da constante

$\dfrac{du}{dx}=3x^2+3$

Multiplique ambos os lados pelo diferencial $dx$

$du=3x^2+3\,dx$

Veja que podemos fatorar a expressão: $3x^2+3=3\cdot(x^2+1)$, logo

$du=3\cdot(x^2+1)\,dx$

Divida ambos os lados da equação por $3$

$\dfrac{du}{3}=x^2+1\,dx$

Observe que este elemento já faz parte da integral. Então, substituímos:

$\displaystyle{\int \dfrac{du}{3\cdot \sqrt{u}}$

Para calcularmos esta integral, lembre-se que:

• A integral do produto entre uma constante e uma função é dada pelo produto entre a constante e a integral da função, isto é: $\displaystyle{a\cdot f(x)\,dx=a\cdot \int f(x)\,dx$.
• A integral de uma potência é dada por: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$.

Aplique a regra da constante

$\displaystyle{\dfrac{1}{3}\cdot\int \dfrac{du}{ \sqrt{u}}$

Lembre-se que podemos reescrever o radical como uma potência de expoente fracionário: $\sqrt[n]{x^m}\Leftrightarrow x^{\frac{m}{n}}$, logo

$\displaystyle{\dfrac{1}{3}\cdot\int \dfrac{du}{u^{\frac{1}{2}}}$

Reescrevemos a expressão como uma potência de expoente negativo: $\dfrac{1}{a^n}\Leftrightarrow a^{-n}$, logo

$\displaystyle{\dfrac{1}{3}\cdot\int u^{-\frac{1}{2}}\,du$

Aplique a regra da potência

$\displaystyle{\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{u^{-\frac{1}{2}+1}}{\left(-\dfrac{1}{2}+1\right)}$

Some os valores

$\displaystyle{\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{u^{\frac{1}{2}}}{\left(\dfrac{1}{2}\right)}$

Simplifique a fração de frações

$\displaystyle{\dfrac{1}{3}\cdot2u^{\frac{1}{2}}$

Multiplique os valores e transforme novamente a potência em raiz

$\dfrac{2\sqrt{u}}{3}$

Desfaça a substituição $u=x^3+3x$ e adicione a constante de integração

$\dfrac{2\sqrt{x^3+3x}}{3}+C,~C\in\mathbb{R}$

Este é o resultado desta integral.