Question

Resolva a integral por partes ∫ x.ln (x+1) dx

Answer 1

Fazendo u=x+1   ==>du=dx
x=u-1

∫ (u-1) * ln (u)  du = ∫ u * ln (u)  du   + ∫ ln (u) du

Temos duas integrais, as duas teremos que fazer por partes:

####################################

Vou fazer  ∫ u * ln (u)  du  que é por partes..

f=ln(u)  ==>df=(1/u)  du
u du = dv ==>∫ u du = ∫ dv => u²/2 = v

∫ u * ln (u)  du =(u²/2)* ln(u) - ∫ (u²/2) (1/u)  du =(u²/2)*ln(u) -u²/4

###############################

Fazendo  ∫ ln (u) du   que é também por partes

f= ln(u) ==> df=(1/u) du
du=dv ==> ∫du=∫dv ==>u=v

 ∫ ln (u) du =u * ln(u) - ∫ u * (1/u) du = u*ln(u) -u²/2

########################################

Somando as Duas

∫ (u-1) * ln (u)  du = (u²/2)*ln(u) -u²/4 +  u*ln(u) -u²/2 + constante

Mas como u=x+1 

∫ x* ln (x+1)  dx = ((x+1)²/2)*ln(x+1) -(x+1)²/4 +  (x+1)*ln(x+1) -(x+1)²/2 + constante