Question

Resolva a integral indefinida a seguir
int x³ + 5x² + 4x + 1dx

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre o cálculo de integrais.

Devemos resolver a seguinte integral:

$\displaystyle{\int x^3+5x^2+4x+1\,dx}$

Para resolvê-la, lembre-se que:

• A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções: $\displaystyle{\int f(x)\pm g(x)\,dx=\int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx}$.
• A integral do produto entre uma constante e uma função pode ser reescrito como: $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot\int f(x)\,dx}$.
• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C}$.

Aplique a regra da soma

$\displaystyle{\int x^3\,dx+\int 5x^2\,dx+\int 4x\,dx+\int 1\,dx}$

Aplique a regra da constante

$\displaystyle{\int x^3\,dx+5\cdot\int x^2\,dx+4\cdot\int x\,dx+\int 1\,dx}$

Aplique a regra da potência, sabendo que $x=x^1$ e $1=x^0$

$\dfrac{x^{3+1}}{3+1}+C_1+5\cdot\left(\dfrac{x^{2+1}}{2+1}+C_2\right)+4\cdot\left(\dfrac{x^{1+1}}{1+1}+C_3\right)+\dfrac{x^{0+1}}{0+1}+C_4$

Some os valores nos expoentes e denominadores e efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$\dfrac{x^4}{4}+C_1+\dfrac{5x^3}{3}+5C_2+2x^2+4C_3+x+C_4$

Considere $C_1+5C_2+4C_3+C_4=C$

$\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{5x^3}{3}+2x^2+x+C,~C\in\mathbb{R}$

Este é o resultado desta integral indefinida.