Question

Resolva a (integral do Rubão):

$\large\displaystyle\begin{aligned} \int \sqrt[3]{3x^2+5}\ x^3 dx \end{aligned}$

Answer 1

Resposta: $\int\sqrt[3]{3x^2+5}\,x^3\,dx=\frac{1}{56}\sqrt[3]{(3x^2+5)^4}(4x^2-5)+C$

$\displaystyle\int\sqrt[3]{3x^2+5}\,x^3\,dx$

Resolvendo por substituição, atribua u = x² e derive, obtendo:

$\dfrac{du}{dx}=(x^2)'~\Leftrightarrow~du=2x\,dx$

Porém, note que não há como fazer essa substituição na integral, por isso manipularemos essa equação:

$du=2x\,dx~\Leftrightarrow~x\,dx=\dfrac{du}{2}$

Fazendo agoras as substituições:

$\displaystyle\int\sqrt[3]{3x^2+5}\,x^3\,dx~\Leftrightarrow~\displaystyle\int\sqrt[3]{3x^2+5}\,\underbrace{x^2}_u \underbrace{x\,dx}_{\frac{du}{2}}$

$=~~\displaystyle\int\sqrt[3]{3u+5}\:\,u\dfrac{du}{2}$

⇒ a constante sai multiplicando, pela propriedade ∫af(x)dx = a∫f(x)dx.

$=~~\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\sqrt[3]{3u+5}\:\,u\,du$

Não tendo mais nada para ser feito, vamos aplicar mais uma substituição em cima da substituição... Agora faça v = 3u + 5, e derivando-o:

$\dfrac{dv}{du}=(3u+5)'~\Leftrightarrow~dv=3\,du$

Mas veja que os fatores u e du ainda estão sem valores atribuídos, então:

$v=3u+5~\Leftrightarrow~u=\dfrac{v-5}{3}$   E   $dv=3\,du~\Leftrightarrow~du=\dfrac{dv}{3}$

Fazendo novamente as substituições (durante o processo será muito utilizado as propriedades da potenciação):

$\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\sqrt[3]{3u+5}\:\,u\,du~\Leftrightarrow~\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\sqrt[3]{v}\,\dfrac{v-5}{3}\cdot\dfrac{dv}{3}$

$=~~\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\sqrt[3]{v}\:\,\dfrac{v-5}{9}\,dv$

$=~~\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{9}\displaystyle\int\sqrt[3]{v}\:\,\dfrac{v-5}{9}\,dv$

$=~~\dfrac{1}{18}\displaystyle\int\sqrt[3]{v}\:\,(v-5)\,dv$

$=~~\dfrac{1}{18}\displaystyle\int v\sqrt[3]{v}-5\sqrt[3]{v}\,dv$

$=~~\dfrac{1}{18}\displaystyle\int v^1v^{\frac{1}{3}}-5v^{\frac{1}{3}}\,dv$

$=~~\dfrac{1}{18}\displaystyle\int v^{\frac{1}{3}+1}-5v^{\frac{1}{3}}\,dv$

$=~~\dfrac{1}{18}\displaystyle\int v^{\frac{1}{3}+\frac{3}{3}}-5v^{\frac{1}{3}}\,dv$

$=~~\dfrac{1}{18}\displaystyle\int v^{\frac{4}{3}}-5v^{\frac{1}{3}}\,dv$

$=~~\dfrac{1}{18}\displaystyle\int v^{\frac{4}{3}}\,dv-\dfrac{1}{18}\displaystyle\int5v^{\frac{1}{3}}\,dv$

$=~~\dfrac{1}{18}\displaystyle\int v^{\frac{4}{3}}\,dv-\dfrac{1}{18}\cdot5\displaystyle\int v^{\frac{1}{3}}\,dv$

$=~~\dfrac{1}{18}\displaystyle\int v^{\frac{4}{3}}\,dv-\dfrac{5}{18}\displaystyle\int v^{\frac{1}{3}}\,dv$

⇒ aplique a regra da potência.

$=~~\dfrac{1}{18}\cdot\dfrac{v^{\frac{4}{3}+1}}{\frac{4}{3}+1}+c_1-\dfrac{5}{18}\cdot\dfrac{v^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1}+c_2$

$=~~\dfrac{1}{18}\cdot\dfrac{v^{\frac{4}{3}+\frac{3}{3}}}{\frac{4}{3}+\frac{3}{3}}-\dfrac{5}{18}\cdot\dfrac{v^{\frac{1}{3}+\frac{3}{3}}}{\frac{1}{3}+\frac{3}{3}}+C$

$=~~\dfrac{1}{18}\cdot\dfrac{v^{\frac{7}{3}}}{\frac{7}{3}}-\dfrac{5}{18}\cdot\dfrac{v^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}}+C$

$=~~\dfrac{v^{\frac{7}{3}}}{6\cdot7}-\dfrac{5v^{\frac{4}{3}}}{6\cdot4}+C$

$=~~\dfrac{v^{\frac{7}{3}}}{42}-\dfrac{5v^{\frac{4}{3}}}{24}+C$

Retrocando pela substituição anterior:

$=~~\dfrac{(3u+5)^{\frac{7}{3}}}{42}-\dfrac{5(3u+5)^{\frac{4}{3}}}{24}+C$

E voltando com a variável antiga, obtém-se:

$=~~\dfrac{(3x^2+5)^{\frac{7}{3}}}{42}-\dfrac{5(3x^2+5)^{\frac{4}{3}}}{24}+C$

$=~~\dfrac{4}{4}\cdot\dfrac{(3x^2+5)^{\frac{7}{3}}}{42}-\dfrac{7}{7}\cdot\dfrac{5(3x^2+5)^{\frac{4}{3}}}{24}+C$

$=~~\dfrac{4(3x^2+5)^{\frac{7}{3}}}{168}-\dfrac{35(3x^2+5)^{\frac{4}{3}}}{168}+C$

⇒ coloque o fator comum 1/168 em evidência.

$=~~\dfrac{1}{168}\big[4(3x^2+5)^{\frac{7}{3}}-35(3x^2+5)^{\frac{4}{3}}\big]+C$

⇒ coloque o fator comum (3x² + 5)^4/3 em evidência.

$=~~\dfrac{1}{168}(3x^2+5)^{\frac{4}{3}}\big[4(3x^2+5)^{\frac{3}{3}}-35\big]+C$

$=~~\dfrac{1}{168}(3x^2+5)^{\frac{4}{3}}\big[4(3x^2+5)^1-35\big]+C$

$=~~\dfrac{1}{168}(3x^2+5)^{\frac{4}{3}}(12x^2+20-35)+C$

$=~~\dfrac{1}{168}(3x^2+5)^{\frac{4}{3}}(12x^2-15)+C$

$=~~\dfrac{1}{168}(3x^2+5)^{\frac{4}{3}}3(4x^2-5)+C$

$=~~\dfrac{1}{56}(3x^2+5)^{\frac{4}{3}}(4x^2-5)+C$

$=~~\boxed{\dfrac{1}{56}\sqrt[3]{(3x^2+5)^4}(4x^2-5)+C}$

Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.