Question

Resolva a integral definida raiz quadrada de x dx no intervalo de 0 a 3

Answer 1

$\displaystyle\int\limits_{0}^{3}{\sqrt{x}\,dx}\\ \\ \\ \displaystyle\int\limits_{0}^{3}{x^{1/2}\,dx}\\ \\ \\ \left[\dfrac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} \right ]_{0}^{3}\\ \\ \\ \left[\dfrac{x^{3/2}}{(\frac{3}{2})} \right ]_{0}^{3}\\ \\ \\ \dfrac{2}{3}\left[x^{3/2} \right ]_{0}^{3}\\ \\ \\ \dfrac{2}{3}\left[3^{3/2}-0^{3/2} \right ]\\ \\ \\ =2\cdot \dfrac{3^{3/2}}{3}\\ \\ \\ =2\cdot 3^{\frac{3}{2}-1}\\ \\ =2\cdot 3^{1/2}\\ \\ =2\sqrt{3}$

Answer 2

O valor da integral da raiz quadrada de x no intervalo de 0 a 3 é 2√3.

Temos que a raiz quadrada de x pode ser escrita na forma de potência, ou seja, √x = x^(1/2). Para integrar polinômios do tipo x^n, temos que aplicar a seguinte regra:

∫x^n dx = x^(n-1)/(n-1)

Substituindo n por 1/2, temos:

∫x^(1/2) dx = x^((1/2)+1)/((1/2)+1)

∫x^(1/2) dx = x^(3/2)/(3/2)

∫x^(1/2) dx = (2/3)√x³

Como queremos a integral definida, aplicamos o intervalo:

∫x^(1/2) dx = (2/3)√3³ - (2/3)√0³

∫x^(1/2) dx = (2/3)√3².3

∫x^(1/2) dx = 2√3

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