Question

Resolva a integral definida no intervalo de [1,2] das seguintes integrais:

Integral (x^2 - 2x + 3)21 dx

Answer 1

Temos a seguinte integral definida:

$\int\limits_{0}^{2}(x {}^{2} - 2x + 3).21 \: dx$

Primeiramente vamos multiplicar todos os elementos dentro do parêntese por 21:

$\int\limits_{0}^{2}21x {}^{2} - 42x + 63 \: dx$

Agora vamos esquecer momentaneamente os limites de integração e colocar apenas a integral:

$\int 21x {}^{2} - 42x + 63 \: dx$

Lembre-se que a integral da soma é igual a soma das integrais, isso pode ser visto na seguinte propriedade de integrais;

$\boxed{\int (f(x) \pm g(x))dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx }$

Aplicando essa propriedade:

$\int 21x {}^{2} \: dx - \int 42x \: dx+ \int 63 \: dx$

Outra propriedade que podemos usar é que uma constante pode transitar livremente para dentro e fora da integral:

$\boxed{ \int k.f(x)dx =k \int f(x)dx}$

Removendo as constantes de dentro da integral:

$21 \int x {}^{2} \: dx - 42 \int x \: dx + 63 \int dx$

Para finalizar a integração, basta aplicarmos a regra da potência em integrais, dada por:

$\boxed{\int x {}^{n} dx = \frac{x {}^{n + 1} }{n + 1} + c }$

Utilizando a propriedade:

$21. \frac{x {}^{2 + 1} }{2 + 1} - 42. \frac{x {}^{1 + 1} }{1 + 1} + 63. \frac{x {}^{0 + 1} }{0 + 1} \\ \\ 7x {}^{3} - 21x {}^{2} + 63x \bigg |_{0}^{2}$

Os limites de integração devem ser substituídos na função de acordo com o TFC (Teorema Fundamental do Cálculo):

$\boxed{\int\limits_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)}$

Aplicando esse teorema, temos que:

$7.2 {}^{3} - 21.2 {}^{2} + 63. 2 - 0 \\ 56 - 84 + 126 \\ \boxed{ \boxed{98}}$

Espero ter ajudado