Question

Resolva a Integral Definida em anexo:

Answer 1

Podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar o valor da integral definida:

$\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\left.F(x)\right|_{a}^{b}=F(b)-F(a)$


sendo $F$ uma primitiva de $f$ no intervalo $(a,\;b)\,,$

(e $F$ é contínua em $x=a$ e em $x=b$ ).

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Regra para encontrar primitiva de potências:

$\displaystyle\int{x^{n}\,dx}=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\,,~~~\text{ com }n\ne -1.$


sendo $C$ a constante de integração.
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Dada a função $f(x)=x^{2}-4x+7\,,$ encontremos uma primitiva para $f$ no intervalo $(-3,\;0):$

$\displaystyle\int{f(x)\,dx}\\\\\\ =\int{(x^{2}-4x+7)\,dx}\\\\\\ =\int{x^{2}\,dx}+\int{(-4x)\,dx}+\int{7\,dx}\\\\\\ =\int{x^{2}\,dx}-4\int{x\,dx}+7\int{1\,dx}\\\\\\ =\dfrac{x^{3}}{3}-4\cdot \dfrac{x^{2}}{2}+7x+C\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c} \displaystyle\int{f(x)\,dx}=\dfrac{x^{3}}{3}-2x^{2}+7x+C \end{array}}$

sendo $C$ a constante de integração.
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Tomemos como primitiva para $f$ aquela em que a constante de integração é $C=0:$

$F(x)=\dfrac{x^{3}}{3}-2x^{2}+7x$


Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, obtemos o valor da integral definida:

$\displaystyle\int_{-3}^{0}{f(x)\,dx}=\left.F(x)\right|_{-3}^{0}=F(0)-F(-3)\\\\\\ \int_{-3}^{0}{(x^{2}-4x+7)\,dx}=\left.\left(\dfrac{x^{3}}{3}-2x^{2}+7x \right)\right|_{-3}^{0}\\\\\\ =\left(\dfrac{0^{3}}{3}-2\cdot 0^{2}+7\cdot 0 \right)-\left(\dfrac{(-3)^{3}}{3}-2\cdot (-3)^{2}+7\cdot (-3) \right)\\\\\\ =0-\left(\dfrac{-27}{3}-2\cdot 9-21 \right)\\\\\\ =-(-9-18-21)\\\\ =9+18+21\\\\ =48\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c} \displaystyle\int_{-3}^{0}{(x^{2}-4x+7)\,dx}=48 \end{array}}$

Answer 2

Boa noite!

Solução!

Por se tratar de uma integral imediata pode-se integrar tudo de uma vez ou fazer as integrais individuais e no final somar todas.

$\int\limits^0_{-3}( x^{2} -4x+7)dx\\\\\\\ I=\dfrac{ x^{3}} {3}- \dfrac{4 x^{2} }{2} +7x+c$

$\Bigg|_{-3}^{0} = \dfrac{ 0^{3}} {3}- \dfrac{4 0^{2} }{2} +7.0-\dfrac{ (-3)^{3}} {3}- \dfrac{4 (-3)^{2} }{2} +7(-3)\\\\\\\\\\ \Bigg|_{-3}^{0} = -\dfrac{ (-27)} {3}- \dfrac{36 }{2} -21\\\\\\\\\ \Bigg|_{-3}^{0} = -(-9-18-21)\\\\\\\\\ \Bigg|_{-3}^{0} = 9+18+21\\\\\\\\ \Bigg|_{-3}^{0} = 48\\\\\\\\\\ \boxed{Resposta:\int\limits^0_{-3}( x^{2} -4x+7)dx=48}$



Boa noite!
Bons estudos!