Question

resolva a integral de √(4-x²)dx

Answer 1

∫√(4-x²)dx
aplica-se uma substituição trigonometrica
x=2senθ
dx=2cosθdθ
∫√(4-(2senθ)²)2cosθdθ
∫√(4-4sen²θ)2cosθdθ
∫√(4(1-sen²θ))2cosθdθ
sabendo que 1-sen²x=cos²x
∫√(4cos²θ).2cosθdθ
∫2cosθ.2cosθdθ
∫4cos²θdθ

sabendo que cos²x=(1+cos2x)/2

∫4(1+cos2θ)dθ/2
∫(2+2cos2θ)dθ

aplica-se uma substituição
t=2θ
dt=2dθ
dθ=dt/2

2∫dθ + ∫2costdt/2
2θ+sent + C
2θ + sen2θ + C

agora voltamos para a variável x

como x=2senθ → senθ=x/2
então θ=arcsen(x/2)

se senθ=x/2
em um triângulo o c.o seria x e a hipotenusa seria 2, agora utiliza-se Pitágoras para encontrar o outro cateto:
2²=x²+c.a²
c.a²=4-x²
c.a=√4-x²

logo o cosθ=(√4-x²)/2

e sen2θ=2senθcosθ
logo sen2θ=2*(x/2)*((√4-x²)/2)
sen2θ=(x√4-x²)/2

logo o resultado final que é 2θ + sen2θ + C
fica:

2arcsen(x/2) + (x√4-x²)/2 + C