Question

Resolva a integral (Bem explicado,por favor)

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\dfrac{1}{4}\ln\left|\dfrac{x-2}{x+2}\right|+C,~C\in\mathbb{R}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para calcularmos esta integral, utilizaremos a técnica de frações parciais.

Seja a integral:

$\displaystyle{\int \dfrac{dx}{x^2-4}$

Começamos fatorando o polinômio no denominador como o produto da soma pela diferença:

$\displaystyle{\int \dfrac{dx}{(x+2)\cdot(x-2)}$

Então, separamos a fração como uma soma de frações, cujos numeradores serão respectivamente $A$ e $B$:

$\displaystyle{\int \dfrac{A}{x+2}+\dfrac{B}{x-2}\,dx$

Para encontrarmos os valores de $A$ e $B$, comparamos a fração:

$\dfrac{A}{x+2}+\dfrac{B}{x-2}=\dfrac{1}{(x+2)\cdot(x-2)}$

Multiplique ambos os lados da equação por $(x+2)\cdot (x-2)$

$A\cdot(x-2)+B\cdot(x+2)=1$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$Ax-2A+Bx+2B=1$

Reorganize os termos, fatorando a expressão:

$(A+B)\cdot x+2\cdot(B-A)=1$

Pelo método de comparar coeficientes polinomiais, temos o sistema:

$\begin{cases}A+B=0\\ 2\cdot(B-A)=1\\\end{cases}$

Divida ambos os lados da segunda equação por $2$

$\begin{cases}A+B=0\\\\ B-A=\dfrac{1}{2}\\\end{cases}$

Some a primeira e segunda equações

$2B=\dfrac{1}{2}$

Divida ambos os lados da equação por $2$

$B=\dfrac{1}{4}$

Substituindo este valor em qualquer uma das equações, vemos que:

$A=-\dfrac{1}{4}$

Substituindo estes valores na integral, teremos:

$\displaystyle{\int -\dfrac{1}{4\cdot(x+2)}+\dfrac{1}{4\cdot(x-2)}\,dx$

Lembre-se que a integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções, temos

$\displaystyle{\int \dfrac{-1}{4\cdot(x+2)}+\int\dfrac{1}{4\cdot(x-2)}\,dx$

Aplique a propriedade da constante: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx = a\cdot \int f(x)\,dx$

$\displaystyle{-\dfrac{1}{4}\cdot\int \dfrac{1}{x+2}\,dx+\dfrac{1}{4}\cdot\int\dfrac{1}{x-2}\,dx}$

Então, em ambas as integrais, fazemos uma substituição: $u=x+2$ e $t=x-2$. Diferenciamos ambos os lados das equações para encontrarmos os diferenciais:

$u'=(x+2)'\\\\\\ du=\,dx\\\\\\ t'=(x-2)'\\\\\\ dt=\,dx$

Assim, teremos:

$\displaystyle{-\dfrac{1}{4}\cdot\int \dfrac{du}{u}+\dfrac{1}{4}\cdot\int\dfrac{dt}{t}$

Lembre-se que $\displaystyle{\int \dfrac{dx}{x}=\ln|x|+C$

$\displaystyle{-\dfrac{1}{4}\cdot(\ln|u|+C_1)+\dfrac{1}{4}\cdot(\ln|t|+C_2)$

Desfaça as substituições e efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$\displaystyle{-\dfrac{1}{4}\ln|x+2|-\dfrac{C_1}{4}+\dfrac{1}{4}\ln|x-2|+\dfrac{C_2}{4}$

Reorganize os termos

$\dfrac{1}{4}\ln|x-2|-\dfrac{1}{4}\ln|x+2|+\dfrac{C_2}{4}-\dfrac{C_1}{4}$

Reescrevendo $\dfrac{C_2}{4}-\dfrac{C_1}{4}=C$ e aplicando a propriedade de logaritmos, temos

$\dfrac{1}{4}\ln\left|\dfrac{x-2}{x+2}\right|+C,~C\in\mathbb{R}$

Este é o resultado desta integral.

Saiba que: esta é uma integral imediata

$\displaystyle{\int \dfrac{1}{x^2-a^2}\,dx=\dfrac{1}{2a}\ln\left|\dfrac{x-a}{x+a}\right|+C,~C\in\mathbb{R}$